Mark D. Denavit 和 Kayla Truman-Jarrell 在田纳西大学与 IDEA StatiCa 的联合项目中编写了本验证示例。
1 说明
本文介绍了基于组件的有限元法（CBFEM）与美国工程实践中底板节点传统计算方法的结果对比。评估了三种荷载工况：同心轴向压力、剪力以及轴向压力与弯矩的组合作用。图1展示了所研究的柱-底板节点示意图。
传统计算方法基于 AISC 设计指南1（Fisher and Kloiber 2006）中的建议。该指南中的建议基于底板受力行为的简化假设：若底板屈服后承压应力可发生重分布，则可能导致结果偏于保守；若锚杆拉力被低估，则可能导致结果偏于不安全。特别是，均匀分布承压应力的假设（即刚性底板）通常不够准确，因为底板的柔性会导致应力分布不均匀（Fitz et al. 2018）。因此，本文还将给出基于较不保守替代假设的传统计算结果。两种情况下，计算均按照 AISC 规范（2016）中荷载与抗力系数设计（LRFD）的规定进行。ACI 规范（2019）也包含与底板节点承载力相关的规定。然而，本研究避免了混凝土承压强度以外的混凝土极限状态，且 ACI 规范中混凝土承压强度的规定与 AISC 规范中的规定相同。
CBFEM（基于组件的有限元模型）结果由 IDEA StatiCa 22.1 版本获得。最大允许荷载通过迭代方式确定，即调整施加荷载输入值，使程序判定为安全，但若增加少量荷载（如1 kip），程序则判定为不安全。节点设计承载力分析类型有助于确定最大允许荷载。但由于节点设计承载力的评估存在一定近似，本报告中所有结果均基于应力-应变分析类型。
图1 底板节点示意图（宽翼缘柱）。HSS 柱的底板与此类似
2 同心轴向压力
首先，研究承受同心轴向压力的底板。该荷载工况下评估的极限状态为混凝土压碎和底板受弯屈服。研究了两种情况：矩形 HSS 柱和宽翼缘柱。
对于矩形 HSS 柱的情况，柱截面为 HSS10x4x5/8（ASTM A500 Gr. C，Fy = 50 ksi），底板为正方形，平面尺寸为 12 in. × 12 in.，厚度从 0.25 in. 变化至 2.50 in.，钢材符合 ASTM A36（Fy = 36 ksi）。锚杆直径为 3/4 in.（ASTM F1554 Gr. 36，Fy = 36 ksi），边距为 c1 = 1 in.。锚杆孔径按 AISC 手册（2017）表14-2的建议为 1-5/16 in.。底板假定直接承压于混凝土上（f'c= 4 ksi）。混凝土平面面积较大，因此适用最大允许承压强度（即 \(\sqrt{A_2/A_1} \ge 2\)）。图2为底板节点的三维视图。
图2 HSS 柱底板节点三维视图
图3给出了由 IDEA StatiCa 和传统计算方法确定的底板节点可安全施加的最大设计轴向压力。对于较厚的底板（即 tp ≥ 2.25 in.），传统计算结果与 IDEA StatiCa 结果几乎相同。在这些情况下，承压控制承载力，且底板全面积与混凝土接触。传统方法与 IDEA StatiCa 结果之间的微小差异，是因为 IDEA StatiCa 在计算承压面积时考虑了锚杆孔，而传统方法通常忽略孔洞引起的面积减小。
图3 HSS 柱底板最大设计轴向压力与底板厚度的关系
对于较薄的底板，传统计算结果与 IDEA StatiCa 结果差异显著。在这些情况下，传统计算由底板弯曲控制，而 IDEA StatiCa 中的控制极限状态为混凝土压碎。AISC 设计指南1中假设的均匀分布承压应力会在底板中产生较大的弯曲需求。然而，底板（尤其是较薄时）具有柔性，会发生变形，导致承压应力集中分布于柱下方，如图4所示。底板屈服进一步增加了底板的柔性，并限制了底板边缘处的承压应力。IDEA StatiCa 对这一行为进行了显式模拟。因此，虽然底板发生屈服，但底板中的塑性应变从未达到5%的限值，混凝土强度控制承载力。
图4 IDEA StatiCa 中 HSS 柱底板的承压应力分布。阴影线表示面积 A2，延伸至视图范围之外
为进一步探讨差异，采用与柔性底板更为一致的假设重复进行了传统计算。这些替代传统计算所采用的应力分布假设如图5所示。承压应力均匀分布，但仅作用于底板的一部分区域。承压应力的大小等于 AISC 规范（2016）允许的最大值（即 \(\phi 1.7 f'_c\)，注意混凝土平面面积较大）。承压区宽度取决于施加荷载和承压应力。这些计算中，屈服线的位置与 AISC 设计指南1的建议相同。虽然这一替代承压应力分布假设与指南中的假设不同，但仍符合 AISC 规范（2016）的要求。另一种理解替代承压应力假设的方式是：忽略底板中超出混凝土承压所需面积的部分。
图5 HSS 柱底板传统（柔性）计算所采用的承压应力分布假设
图3给出了采用替代传统计算方法得到的最大设计轴向压力。采用替代承压应力假设所得承载力远高于采用 AISC 设计指南1假设所得结果。鉴于两组假设均有效，这表明对于承压面积偏大的底板，假设全底板均匀承压是偏于保守的。IDEA StatiCa 的承载力仍高于采用替代假设的传统计算结果。原因在于 IDEA StatiCa 中的承压应力分布不均匀（图4），应力集中于柱附近，从而对底板产生较小的弯曲需求。虽然这一行为在物理上是真实的，但难以通过手算捕捉。
HSS 底板节点的几何形状使得采用更符合实际的承压应力分布假设来计算底板弯曲需求较为简便。对于宽翼缘柱，此类计算较为复杂，但均匀承压应力分布假设同样偏于保守。为此，对 W12x120（ASTM A992，Fy = 50 ksi）柱进行了补充分析，底板为正方形，平面尺寸为 18 in. × 18 in.，厚度从 0.25 in. 变化至 3.00 in.，钢材符合 ASTM A36（Fy = 36 ksi）。锚杆直径为 3/4 in.（ASTM F1554 Gr. 36，Fy = 36 ksi），边距为 c1 = 1.5 in.。锚杆孔径按 AISC 手册（2017）表14-2的建议为 1-5/16 in.。底板假定直接承压于混凝土上（f'c= 4 ksi）。混凝土平面面积较大，因此适用最大允许承压强度（即 \(\sqrt{A_2/A_1} \ge 2\)）。
图6给出了由 IDEA StatiCa 和传统计算方法确定的底板节点可安全施加的最大设计轴向压力。对于较厚的底板（即 tp ≥ 2.25 in.），传统计算结果与 IDEA StatiCa 结果几乎相同。与 HSS 柱底板情况相同，差异源于承压面积计算中对锚杆孔处理方式的不同。
图6 宽翼缘柱底板最大设计轴向压力与底板厚度的关系
与 HSS 柱底板类似，较薄底板的承载力差异也较为显著。差异的主要来源是传统计算中假设全底板均匀承压。一种基于欧洲工程实践的替代传统计算方法，是假设承压应力仅均匀分布于底板的一部分区域。承受承压应力的底板区域为柱截面向外延伸尺寸 c 的范围，如图7所示。
图7 宽翼缘柱底板传统（柔性）计算所采用的承压面积假设
在欧洲工程实践中，尺寸 c 基于悬臂梁类比，即在不发生屈服的条件下能够承受承压应力的最大均布荷载长度。可通过将该概念应用于本示例及美国工程实践中的计算来确定尺寸 c 的值。悬臂梁类比如图8所示。鉴于本示例中混凝土平面面积较大（即 \(\sqrt{A_2/A_1} \ge 2\)），均布承压应力等于混凝土抗压强度的1.7倍。施加混凝土压碎抗力系数0.65后，设计承压应力为 \(\phi F_p = 1.105 f'_c\)。单位宽度悬臂支座处所需弯矩强度为
\[M_u=1.105f'_c \frac{c^2}{2}\]
单位宽度悬臂受弯屈服极限状态的可用弯矩强度为
\[\phi M_n=0.9F_y \frac{t_p^2}{4}\]
令所需弯矩强度等于可用弯矩强度（即 \(M_u=\phi M_n\)），可得 c 关于底板厚度的表达式。
\[c=0.638t_p \sqrt{\frac{F_y}{f'_c}}\]
对于本示例所用材料强度，Fy = 36 ksi，f'c = 4 ksi，c 的值为 1.91tp，即 c/tp = 1.91。
图8 确定尺寸 c 的悬臂梁类比
Steenhuis et al.（2008）评估了底板与混凝土基础的相对刚度，建议 c/tp = 1.5。另一个可能的比值为 c/tp = 2.5，基于钢结构设计其他方面（如 AISC 规范（2016）第J10.2节腹板局部屈服规定）中假设的2.5:1荷载扩散坡度。
图9给出了采用三种不同 c/tp 比值的底板承载力，以及 IDEA StatiCa 结果和采用刚性底板假设的传统计算结果。对于较薄的底板，替代承压应力分布所允许的最大设计荷载大于采用 AISC 设计指南1假设所得结果。这些承载力与 IDEA StatiCa 的结果更为接近，但 IDEA StatiCa 仍显示出更高的承载力。主要原因有两点：第一，底板在柱翼缘之间并非按悬臂梁受力，在翼缘之间区域采用基于悬臂梁类比的承压应力分布是偏于保守的；第二，IDEA StatiCa 即使在承压区内也不采用均匀承压应力。
图9 宽翼缘柱底板最大设计轴向压力与底板厚度的关系（含柔性底板传统计算结果）
IDEA StatiCa 中承压应力的分布取决于底板与混凝土基础的相对刚度。如图10所示，承压应力在柱腹板和翼缘正下方最大，并随距离增大而减小。因此，承压应力分布并非悬臂梁类比中所假设的均匀分布。此外，峰值承压应力可能超过设计中采用的均布承压应力，因为 IDEA StatiCa 基于承压区平均承压应力评估承载比。IDEA StatiCa 中承压区定义为承压应力大于最大承压应力某一比例的区域。该比例称为应力截断比，默认取0.1，但用户可在规范设置菜单中自行设定。采用不同的应力截断比会得到不同的结果。图9还给出了应力截断比取0.4时 IDEA StatiCa 所得最大设计轴向压力。
图10 IDEA StatiCa 中宽翼缘柱底板的承压应力分布。阴影线表示面积 A2，延伸至视图范围之外
对于承压面积偏大的底板，假设全底板均匀承压显然偏于保守。考虑底板柔性的替代方法仍包含简化假设以便于手算。虽然 IDEA StatiCa 给出的承载力高于上述两种方法，但其基于真实的受力行为假设，且承压强度校核按照 AISC 规范进行。希望结果与手算更为吻合的结构工程师可将 IDEA StatiCa 中的应力截断比调整为0.4。
3 剪力
本节研究承受剪力的底板。剪力从底板传递至混凝土可通过多种机制实现，包括摩擦、底板或抗剪键对混凝土的承压，以及锚杆受剪。本研究仅研究锚杆受剪机制。
如 AISC 设计指南1所述，锚杆受剪设计取决于节点构造细节和相应的传力路径。底板上锚杆孔的公差通常大于螺栓孔，以允许锚杆在安装时存在偏差。AISC 手册（2017）表14-2给出了底板锚杆孔的建议尺寸。为避免滑移并将剪力均匀传递至所有锚杆，可在底板下方安装垫板，或在底板上方（锚杆螺母下方）安装锚板。一旦垫板或锚板与底板焊接，剪力将均匀传递至每根锚杆。但若采用锚板，设计中应考虑锚杆在底板内的弯曲效应。
IDEA StatiCa 不考虑锚杆在底板内的弯曲效应。为验证该弯曲效应的影响，进行了一系列分析。分析采用 W12x120（ASTM A992，Fy = 50 ksi）柱，底板为正方形，平面尺寸为 18 in. × 18 in.，厚度从 0.25 in. 变化至 2.50 in.，钢材符合 ASTM A36（Fy = 36 ksi）。锚杆直径为 3/4 in.（ASTM F1554 Gr. 36，Fy = 36 ksi），剪切面不排除螺纹，边距为 c1 = 1.5 in.。锚杆孔径按 AISC 手册（2017）表14-2的建议为 1-5/16 in.。底板假定承压于混凝土上方2 in. 厚的灌浆层（砂浆层）上（f'c= 4 ksi）。混凝土平面面积较大，无需考虑边缘效应。剪力施加时，零弯矩点位于底板顶部。
图11给出了 IDEA StatiCa 和传统计算方法所得最大设计剪力。IDEA StatiCa 结果几乎保持恒定，最大设计剪力为24 kips。该值为四根锚杆的可用抗剪承载力，并按 ACI 规范（2019）对带灌浆层底板的要求乘以0.8折减系数。当采用垫板或锚杆孔公差较小时，该承载力适用。但若采用锚板，承载力随底板厚度增加而降低。传统计算按 AISC 设计指南1示例4.11所述步骤进行，包括以锚板中心至灌浆层顶面距离的一半作为弯曲力臂。按 AISC 设计指南1的建议，未施加 ACI 规范（2019）中针对带灌浆层底板规定的0.8折减系数。在此情况下，对于厚度不小于3/8 in. 的底板，按 AISC 设计指南1的传统方法所得最大设计剪力低于 IDEA StatiCa 的结果。若采用焊接锚板或其他可能导致锚杆在底板内发生显著弯曲的构造，建议在 IDEA StatiCa 之外另行进行校核。
图11 最大设计剪力与底板厚度的关系
4 轴向压力与弯矩的组合作用
本节研究承受轴向压力与弯矩组合作用的底板。该荷载工况下评估的极限状态包括混凝土承压、底板受弯屈服、锚杆受拉屈服以及构件承载力。
分析采用 W12x120（ASTM A992，Fy = 50 ksi）柱，底板为正方形，平面尺寸为 20 in. × 20 in.，厚度从 0.5 in. 变化至 2.50 in.，钢材符合 ASTM A36（Fy = 36 ksi）。锚杆直径为1 in.（ASTM F1554 Gr. 55，Fy = 55 ksi），锚固深度足够，使锚杆受拉承载力控制而非混凝土受拉破坏模式。锚杆边距为 c1 = 2 in.。锚杆孔径按 AISC 手册（2017）表14-2的建议为 1-7/8 in.。底板假定承压于混凝土上方2 in. 厚的灌浆层（砂浆层）上（f'c= 4 ksi）。混凝土平面面积较大，无需考虑边缘效应，且适用最大允许承压强度（即 \(\sqrt{A_2/A_1} \ge 2\)）。
施加的轴向压力保持恒定为100 kips，确定可同时施加的最大弯矩。最大设计弯矩如图12所示。对于 IDEA StatiCa，底板受拉侧的塑性应变限值控制了底板厚度为0.5 in. 的节点承载力。对于底板厚度为0.625 in. 的节点，出现了一种有趣的极限状态——混凝土压碎控制承载力，原因是底板受拉侧角部被锚杆向下压入混凝土，如图13所示。在施加弯矩约增大5%时，锚杆受拉承载力达到极限。对于所有其他节点（即 tp ≥ 0.75 in.），锚杆受拉承载力控制。在传统计算中，底板厚度不大于1.5 in. 时，底板受压侧受弯屈服控制节点承载力，其余情况由锚杆受拉承载力控制。
图12 轴向压力100 kips时底板最大设计弯矩与底板厚度的关系
图13 底板厚度0.625 in. 节点的变形图（放大系数=5）及混凝土承压应力。注意底板受拉侧角部的承压应力
当底板弯曲控制传统计算时，传统方法所允许的最大设计弯矩小于 IDEA StatiCa 的结果。其原因与承受同心轴向压力的底板类似，即承压应力分布假设偏于保守，未考虑底板屈服后柔性增大的影响。针对承受轴向压力和弯矩的柔性底板，已有传统计算方法被开发出来，并已在其他研究中与 IDEA StatiCa 进行了比较。
相反，当锚杆受拉承载力控制传统计算时，传统方法所允许的最大设计荷载略高于 IDEA StatiCa 的结果。传统计算中锚杆的可用受拉承载力略高，因为其基于 AISC 设计指南1的建议，而 IDEA StatiCa 基于 ACI 规范的规定。两种方法在承压应力分布假设上也存在差异，导致锚杆与承压力合力中心所形成力偶的力臂略有不同。
5 总结
本研究对美国工程实践中传统计算方法与 IDEA StatiCa 在底板节点设计方面进行了比较。研究的主要结论包括：
- 对于较厚的底板（更符合刚性底板假设），IDEA StatiCa 给出的承载力与 AISC 设计指南1中传统计算结果相当。
- 对于较薄的底板，当承压应力引起的底板受弯屈服控制时，IDEA StatiCa 可给出显著高于传统计算的承载力，因为承压应力分布是显式计算的，并在底板屈服启动后发生重分布。
- IDEA StatiCa 能正确计算锚杆的抗剪承载力，但忽略了某些底板构造（如带焊接锚板的底板）中锚杆在底板内弯曲可能导致的抗剪承载力折减。
参考文献
ACI. (2019). Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary. American Concrete Institute, Farmington Hills, MI.
AISC. (2016). Specification for Structural Steel Buildings. American Institute of Steel Construction, Chicago, Illinois.
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Fisher, J., and Kloiber, L. (2006). Base Plate and Anchor Rode Design, 2nd Edition. Design Guide 1, American Institute of Steel Construction, Chicago, Illinois.
Fitz, M., Appl, J., Geibig, O. (2018). "Comprehensive base plate and anchor design based on realistic behavior – new design software based on realistic assumptions." Stahlbau 87(12), 1179-1186. [In German] https://doi.org/10.1002/stab.201800036
Steenhuis, M., Wald, F., Sokol, Z., and Stark, J. (2008). "Concrete in Compression and Base Plate in Bending." Heron, 53(1/2), 51–68.