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锚固

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在本验证示例中，根据 AISC 和 ACI 318-14 对靠近边缘的受拉和受剪锚栓进行了研究。

子规范：LRFD

节点类型：锚固

单位制：公制

设计依据： ACI 318-14

验证内容：靠近边缘的受拉和受剪锚栓

钢板材料： A709，Gr. 50

螺栓：M12 A325M

混凝土等级：4000 psi

几何尺寸

锚栓布置和底板-柱 T 形截面在实际工程中并不常见，但可用于验证锚栓设计中的大多数功能。混凝土块相对于底板的偏移量为：向上及向左 200 mm，向右 300 mm，向下 0 mm。混凝土块高度为 600 mm。左侧和右侧锚栓分别距柱中心 50 mm 和 100 mm，以实现拉力和剪力的偏心效果。所有钢板均设计为保持弹性状态。

施加荷载

柱承受拉力 10 kN，以及 y 和 z 方向的剪力，分别为 –5 kN 和 2 kN。由于锚栓位置的原因，拉力和剪力均存在偏心。

计算步骤

锚栓按照 ACI 318-14 第 17 章进行设计。设计中假定混凝土为开裂素混凝土。所有荷载均视为静力荷载。锚栓为 M12 A325M，现浇带头锚栓，配有直径 24 mm 的圆形锚板。剪力通过锚栓传递。钢板和焊缝强度满足要求，此处不作验算。

注：ACI 318-14 附录 B 给出了非均质公式中英制单位与公制单位的换算关系。两种单位制的公式结果相近但不完全相同。为避免英制和公制单位的承载比出现差异，优先采用英制单位，并对非均质公式中的系数进行了适当调整，例如在公式 17.4.4.1 中，将系数 13 替换为更精确的系数 13.2855。

手算验证

锚栓验算依据 ACI 318-14 第 17 章进行。对单个锚栓分别计算受拉钢材强度、受剪钢材强度和拔出强度；对锚栓群计算受拉混凝土锥体破坏强度、受剪混凝土锥体破坏强度、混凝土侧面劈裂强度和混凝土撬出强度。假定混凝土为素混凝土且处于开裂状态。

内力分配

拉力由 2 根锚栓传递，一根距力作用点 50 mm，另一根距力作用点 100 mm。假定较近的锚栓承担 2/3 的拉力，较远的锚栓承担 1/3，即较近锚栓承受拉力 N_f1 = 6.67 kN，较远锚栓承受拉力 N_f2 = 3.33 kN。锚栓群的力偏心距为 25 mm。

指向最近边缘方向的剪力由 2 根锚栓传递，一根距力作用点 50 mm，另一根距力作用点 100 mm。假定较近的锚栓承担 2/3 的剪力，较远的锚栓承担 1/3，即较近锚栓承受剪力 V_fx1 = 3.33 kN，较远锚栓承受剪力 V_fx2 = 1.67 kN。锚栓群的力偏心距为 25 mm。平行于最近边缘方向的剪力 2 kN 由两根锚栓平均分担。剪力的矢量合力分别为 V_f1 = 3.48 kN，V_f2 = 1.94 kN，锚栓群合力 V_f = 5.39 kN。

锚栓受拉钢材强度

锚栓受拉钢材强度按 ACI 318-14 第 17.4.1 条确定，如下所示：

ϕN_sa = ϕ A_se,Nf_uta = 0.7 ⋅ 84 ⋅ 827.4 = 48.7 kN ≥ N_f1 = 6.67 kN

其中：

ϕ = 0.7 – 受拉锚栓强度折减系数，依据 ACI 318-14 第 17.3.3 条
A_se,N = 84 mm² – 受拉应力面积
f_uta = 827.4 MPa – 锚栓钢材规定抗拉强度，且不得大于 1.9 f_ya 和 120 ksi

承载比：N_f1 / ϕN_sa = 6.67 / 48.7 = 13.7 %

受拉混凝土锥体破坏强度

混凝土锥体破坏强度按 ACI 318-14 第 17.4.2 条中的混凝土承载力设计法（CCD）进行设计。由于锚栓间距 s = 150 mm ≤ 3 ⋅ h_ef = 3 ⋅ 100 = 300 mm，锚栓作为群锚处理。

\[ \phi N_{cbg} = \phi \frac{A_{Nc}}{A_{Nco}} \psi_{ec,N} \psi_{ed,N} \psi_{c,N} \psi_{cp,N} N_b \]

其中：

ϕ = 0.7 – 受拉锚栓强度折减系数，依据 ACI 318-14 第 17.3.3 条
A_Nc = (50 + 150 + 12) ⋅ (150 + 12 + 150 + 12 + 150) = 100 488 mm² – 形成共同混凝土锥体的群锚实际混凝土锥体破坏投影面积。依据第 17.4.2.8 条，破坏面投影面积从锚板有效周边向外投影计算。
A_Nco = 9 h_ef² = 9 ⋅ 100² = 90 000 mm² – 不受边缘影响的单锚混凝土锥体破坏投影面积
$ \psi_{ec,N} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_N}{3 h_{ef}}} = \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 100}}=0.857 $ – 受拉偏心群锚修正系数
$ \psi_{ed,N} = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 c_{a,min}}{1.5 h_{ef}}, 1 \right ) = \min \left ( 0.7 + \frac{0.3 \cdot 50}{1.5 \cdot 100}, 1 \right ) = 0.8 $ – 边距修正系数
c_a,min = 50 mm – 锚栓至边缘的最小距离
Ψ_c,N = 1 – 混凝土条件修正系数
Ψ_cp,N = 1，适用于现浇锚栓
$ N_b = k_c \lambda_a \sqrt{f'_c} h_{ef}^{1.5} = 10 \cdot 1 \cdot \sqrt{27.6} \cdot 100^{1.5} = 52.7 \,\textrm{kN} $ – 开裂混凝土中单锚受拉基本混凝土锥体破坏强度；h_ef ≤ 280 mm（11 in）
k_c = 10，适用于现浇锚栓及公制单位
h_ef = 100 mm – 埋置深度；依据 ACI 318-14 第 17.4.2.3 条，当锚栓距三条或三条以上边缘均小于 1.5 h_ef 时，有效埋置深度 h_ef 取 $ h_{ef} = \max \left ( \frac{c_{a,max}}{1.5}, \frac{s}{3} \right ) $
若锚栓距三条或三条以上边缘均小于 1.5 h_ef
s = 150 mm – 锚栓间距
c_a,max = 350 mm – 锚栓至三条近边中最大边距
λ_a = 1 – 轻质混凝土修正系数
f'_c = 27.6 MPa – 混凝土抗压强度

\[ \phi N_{cbg} = 0.7 \cdot \frac{100488}{90000} \cdot 0.857 \cdot 0.8 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 52.7 = 28.3 \,\textrm{kN} \ge N_f = 10\,\textrm{kN} \]

承载比：N_f / ϕN_cbg = 10 / 28.3 = 35.4 %

受拉拔出强度

锚栓混凝土拔出强度按 ACI 318-14 第 17.4.3 条定义，如下所示：

ϕN_pn = ϕΨ_c,PN_p = 0.7 ⋅ 1 ⋅ 74.9 = 52.4 kN ≥ N_f1 = 6.67 kN

其中：

ϕ = 0.7 – 受拉锚栓强度折减系数，依据 ACI 318-14 第 17.3.3 条
Ψ_c,P = 1 – 混凝土条件修正系数，开裂混凝土取 Ψ_c,P = 1.0
N_P = 8 A_brgf'_c = 8 ⋅ 339.3 ⋅ 27.6 = 74.9 kN – 带头锚栓拔出强度，依据第 17.4.3.4 条
A_brg = π ⋅ (d_wp² – d_a²) / 4 = π ⋅ (24² – 12²) / 4 = 339.3 mm² – 锚栓头部承压面积
f'_c = 27.6 MPa – 混凝土抗压强度

承载比：N_f1 / ϕN_pn = 6.67 / 52.4 = 12.7 %

混凝土侧面劈裂强度

带头锚栓受拉混凝土侧面劈裂强度按 ACI 318-14 第 17.4.4 条定义，如下所示：

\[ \phi N_{sb} = \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} \]

根据第 17.4.4.2 条，对靠近边缘且相互靠近的多根带头锚栓，混凝土侧面劈裂强度乘以折减系数：

\[ 1+\frac{s}{6 c_{a1}} = 1+\frac{150}{6 \cdot 50} = 1.5 \le 2 \]

其中：

ϕ = 0.7 – 受拉锚栓强度折减系数，依据 ACI 318-14 第 17.3.3 条
c_a1 = 50 mm – 锚栓中心线至边缘的较小距离
c_a2 = 350 mm – 垂直于 c_a1 方向，锚栓中心线至边缘的较大距离
A_brg = 339.3 mm² – 锚栓头部承压面积
f'_c = 27.6 MPa – 混凝土抗压强度
h_ef = 100 mm – 埋置深度
s = 150 mm – 锚栓间距

\[ \phi N_{sbg} = 1.5 \cdot \phi 13 c_{a1} \sqrt{A_{brg}} \sqrt{f'_c} = 1.5 \cdot 0.7 \cdot 13 \cdot 50 \cdot \sqrt{339.3} \cdot \sqrt{27.6} = 67.4\,\textrm{kN} \ge N_{f} = 10\,\textrm{kN} \]

承载比：N_f / ϕN_cbg = 10 / 67.4 = 26.7 %

受剪钢材强度

受剪钢材强度按 ACI 318-14 第 17.5.1 条确定，如下所示：

ϕV_sa = ϕ 0.6 A_se,Vf_uta = 0.65 ⋅ 0.6 ⋅ 84 ⋅ 827.4 = 27.1 kN ≥ V_f1 = 3.48 kN

其中：

ϕ = 0.65 – 受拉锚栓强度折减系数，依据 ACI 318-14 第 17.3.3 条
A_se,V = 84 mm² – 受拉应力面积
f_uta = 827.4 MPa – 锚栓钢材规定抗拉强度，且不得大于 1.9 f_ya 和 120 ksi

承载比：V_f1 / ϕV_sa = 3.48 / 27.1 = 12.7 %

受剪混凝土锥体破坏强度

群锚受剪混凝土锥体破坏强度按 ACI 318-14 第 17.5.2 条进行设计。

\[ \phi V_{cbg} = \phi \frac{A_V}{A_{Vo}} \psi_{ec,V} \psi_{ed,V} \psi_{c,V} \psi_{h,V} \psi_{\alpha,V} V_b \]

其中：

ϕ = 0.65 – 受剪锚栓强度折减系数，依据 ACI 318-14 第 17.3.3 条
A_v = (50 ⋅ 1.5) ⋅ (50 ⋅ 1.5 + 150 + 50 ⋅ 1.5) = 22 500 mm² – 单锚或群锚混凝土破坏面投影面积
A_vo = 4.5 c_a1² = 4.5 ⋅ 50² = 11 250 mm² – 不受角部影响、间距或构件厚度限制时单锚混凝土破坏面投影面积
$ \psi_{ec,V} = \frac{1}{1+\frac{2 e'_V}{3 c_{a1}}}= \frac{1}{1+\frac{2 \cdot 25}{3 \cdot 50}}=0.75 $ – 受剪偏心群锚修正系数
$ \psi_{ed,V} = 0.7 + 0.3 \frac{c_{a2}}{1.5 c_{a1}} = 0.7 + 0.3 \frac{350}{1.5 \cdot 50} = 2.1\le 1.0 $ – 边缘效应修正系数
Ψ_c,V = 1 – 混凝土条件修正系数；开裂混凝土取 Ψ_c,V = 1.0
$ $\psi_{h,V} = \sqrt{\frac{1.5 c_{a1}}{h_a}} = \sqrt{\frac{1.5 \cdot 50}{600}} = 0.354 \ge 1 $ – 位于 h_a < 1.5 c_a1 混凝土构件中锚栓的修正系数
$ \psi_{\alpha ,V} = \sqrt{\frac{1}{(\cos \alpha_V )^2 + (0.5 \sin \alpha_V)^2}}=\sqrt{\frac{1}{(\cos 21.8^\circ )^2 + (0.5 \sin 21.8^\circ)^2}} = 1.056 $ – 与混凝土边缘成 90° − α_V 角受剪锚栓修正系数；ACI 318-14 第 17.5.2.1 条仅给出离散值，公式取自 FIB bulletin 58 – 混凝土中锚固设计（2011）
h_a = 600 mm – 混凝土侧面破坏面高度

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{l_e}{d_a} \right )^{0.2} \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5}, 3.7 \lambda_a \sqrt{d_a} \sqrt{f'_c} c_{a1}^{1.5} \right ) \]

\[ V_b = \min \left ( 0.6 \left ( \frac{96}{12} \right )^{0.2} \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 5.666 \, \textrm{kN}, 3.7 \cdot 1.0 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{27.6} \cdot 50^{1.5} = 6.993 \, \textrm{kN} \right ) = 5.666 \, \textrm{kN} \]

l_e = h_ef = 100 mm ≤ 8 d_a = 8 ⋅ 12 = 96 mm – 锚栓受剪承载长度
d_a = 12 mm – 锚栓直径
f'_c = 27.6 MPa – 混凝土抗压强度
c_a1 = 50 mm – 荷载方向边距，c_a2 ≥ 1.5 c_a1 且 h_a ≥ 1.5 c_a1
c_a2 = 350 mm – 垂直于荷载方向的边距

\[ \phi V_{cbg} = 0.65 \cdot \frac{22500}{11250} \cdot 0.75 \cdot 1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.0 \cdot 1.056 \cdot 5.666 = 5.835 \, \textrm{kN} \ge V_f = 5.39 \, \textrm{kN} \]

承载比：V_f / ϕV_cbg = 5.39 / 5.835 = 92.3 %

锚栓受剪混凝土撬出强度

混凝土撬出强度按 ACI 318-14 第 17.5.3 条进行设计。假定所有锚栓均受拉，且混凝土锥体破坏强度计算中不考虑偏心。

ϕV_cp = ϕk_cpN_cp = 0.65 ⋅ 2 ⋅ 47.1 = 61.2 kN ≥ V_f = 5.39 kN

其中：

ϕ = 0.65 – 受剪锚栓强度折减系数，依据 ACI 318-14 第 17.3.3 条
k_cp = 2.0，适用于 h_ef ≥ 50 mm
现浇锚栓情况下，N_cp = N_cb = 47.1 kN（混凝土锥体破坏强度——假定所有锚栓均受拉）

承载比：V_f / ϕV_cp = 5.39 / 61.2 = 5.7 %

拉力与剪力的相互作用

拉力与剪力的相互作用按 ACI 318-14 第 R17.6 条进行验算。

\[ \left ( \frac{N_{ua}}{N_n} \right )^{\zeta} + \left ( \frac{V_{ua}}{V_n} \right )^{\zeta} = \left ( 0.354 \right )^{5/3} + \left ( 0.923 \right )^{5/3}= 1.062 \le 1.0 \]

其中：

N_ua 和 V_ua – 作用于锚栓的设计力
N_n 和 V_n – 由所有适用破坏模式确定的最低设计强度
ς = 5 / 3

锚固强度不足以传递拉力与剪力的组合作用。

在 IDEA StatiCa Connection 中验算

此外，还显示了焊缝和受压混凝土块的计算结果。这些组件的荷载效应可忽略不计，因此承载比也相应极小。

对比

IDEA StatiCa Connection 中的内力分配与手算结果略有不同。柱和底板发生变形，底板与混凝土块接触，承压应力增大了锚栓中的内力，因此考虑力偏心的修正系数略有差异。混凝土侧面劈裂强度在 IDEA StatiCa Connection 中对每根锚栓单独验算，而手算中可作为群锚验算以获得略高的承载力。由于上述原因，部分单项承载力略有差异，但偏差仅在百分之几以内。最终承载比——拉力与剪力的相互作用——几乎完全一致，手算为 106.2 %，IDEA StatiCa 为 107.7 %。

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