Cálculo da largura de fenda
Existem duas formas de calcular as larguras de fenda - fissuração estabilizada e não estabilizada. De acordo com a taxa geométrica de armadura em cada parte da estrutura, é decidido qual o tipo de modelo de cálculo de fenda a utilizar (TCM para fissuração estabilizada e POM para o modelo de fissuração não estabilizada).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)
Enquanto o CSFM fornece um resultado direto para a maioria das verificações (por exemplo, capacidade do elemento, deformações…), os resultados da largura de fenda são calculados a partir dos resultados de deformação da armadura diretamente fornecidos pela análise de elementos finitos, seguindo a metodologia descrita na Fig. 20. É considerada uma cinemática de fenda sem deslizamento (abertura pura de fenda) (Fig. 20a), o que é consistente com as principais hipóteses do modelo. As direções principais de tensões e deformações definem a inclinação das fendas (θr = θs= θe). De acordo com (Fig. 20b), a largura de fenda (w) pode ser projetada na direção da barra de armadura (wb), resultando em:
\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]
onde θb é a inclinação da barra.
Note-se que o programa apresenta valores de θr e θb < π/2. Isto significa que a equação anterior é válida para os casos em que a armadura e a fenda atravessam quadrantes diferentes do sistema de coordenadas cartesiano, como ilustrado na Fig. 20, onde a armadura atravessa os quadrantes I e III e a fenda os quadrantes II e IV. Para os casos em que a armadura e a fenda atravessam os mesmos quadrantes, a equação deve ser modificada da seguinte forma:
\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]
A componente wb é calculada de forma consistente com base nos modelos de enrijecimento à tração, integrando as deformações da armadura. Para as regiões com padrões de fissuração completamente desenvolvidos, as deformações médias calculadas (em) ao longo das barras de armadura são diretamente integradas ao longo do espaçamento entre fendas (sr), conforme indicado na (Fig. 20c). Embora esta abordagem para o cálculo das direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, fornece ainda assim valores representativos que conduzem a resultados de largura de fenda comparáveis com os valores de largura de fenda exigidos pela norma na posição da barra de armadura.
Observam-se situações especiais em cantos côncavos da estrutura calculada. Neste caso, o canto predefine a posição de uma fenda singular que se comporta de forma não estabilizada antes de se desenvolverem fendas adjacentes adicionais. Estas fendas adicionais desenvolvem-se geralmente após o intervalo de serviço (Mata-Falcón 2015), o que justifica o cálculo das larguras de fenda nessa região como se fossem não estabilizadas (Fig. 21).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]
Enrijecimento à tração
A implementação do enrijecimento à tração distingue entre casos de padrões de fissuração estabilizada e não estabilizada. Em ambos os casos, o betão é considerado completamente fendilhado antes da aplicação das cargas, por defeito.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)
Fissuração estabilizada
Em padrões de fissuração completamente desenvolvidos, o enrijecimento à tração é introduzido utilizando o Modelo de Corda em Tração (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – que demonstrou fornecer excelentes previsões de resposta apesar da sua simplicidade (Burns 2012). O TCM assume uma relação tensão de aderência-deslizamento rígida-perfeitamente plástica em degrau com τb = τb0 =2 fctm para σs ≤ fy e τb =τb1 = fctm para σs > fy. Tratando cada barra de armadura como uma corda em tração – Fig. 22b e Fig. 22a – a distribuição das tensões de aderência, do aço e do betão e, consequentemente, a distribuição de deformações entre duas fendas pode ser determinada para qualquer valor dado das tensões máximas do aço (ou deformações) nas fendas.
Para sr = sr0, uma nova fenda pode ou não formar-se porque no centro entre duas fendas σc1 = fct. Consequentemente, o espaçamento entre fendas pode variar por um fator de dois, ou seja, sr = λsr0, com l = 0,5…1,0. Assumindo um determinado valor para λ, a deformação média da corda (εm) pode ser expressa em função das tensões máximas da armadura (ou seja, tensões nas fendas, σsr). Para o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para as barras de armadura nuas considerado por defeito no CSFM, obtêm-se as seguintes expressões analíticas de forma fechada (Marti et al. 1998):
\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]
\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]
\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]
onde:
Esh o módulo de endurecimento do aço Esh = (ft – fy)/(εu – fy /Es) ,
Es módulo de elasticidade da armadura,
Ø diâmetro da barra de armadura,
sr espaçamento entre fendas,
σsr tensões da armadura nas fendas,
σs tensões reais da armadura,
fy tensão de cedência da armadura.
A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail considera o espaçamento médio entre fendas por defeito ao realizar a análise de campos de tensões assistida por computador. O espaçamento médio entre fendas é considerado como 2/3 do espaçamento máximo entre fendas (λ = 0,67), o que segue as recomendações feitas com base em ensaios de flexão e tração (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Deve notar-se que os cálculos das larguras de fenda consideram um espaçamento máximo entre fendas (λ = 1,0) de forma a obter valores conservadores.
A aplicação do TCM depende da taxa de armadura e, portanto, a atribuição de uma área de betão adequada a atuar em tração entre as fendas a cada barra de armadura é crucial. Foi desenvolvido um procedimento numérico automático para definir a taxa de armadura efetiva correspondente (ρeff = As/Ac,eff) para qualquer configuração, incluindo armadura inclinada (Fig. 23).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)
Fissuração não estabilizada
As fendas existentes em regiões com taxas geométricas de armadura inferiores a ρcr, ou seja, a quantidade mínima de armadura para a qual a armadura é capaz de suportar a carga de fissuração sem ceder, são geradas por ações não mecânicas (por exemplo, retração) ou pela progressão de fendas controladas por outra armadura. O valor desta armadura mínima é obtido da seguinte forma:
\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]
onde:
fy tensão de cedência da armadura,
fct resistência à tração do betão,
n razão modular, n = Es / Ec .
Para betão e aço de armadura convencionais, ρcr é aproximadamente 0,6%.
Para estribos com taxas de armadura inferiores a ρcr, a fissuração é considerada não estabilizada e o enrijecimento à tração é implementado por meio do Modelo de Arrancamento (POM) descrito na Fig. 22b. Este modelo analisa o comportamento de uma fenda singular considerando ausência de interação mecânica entre fendas separadas, desprezando a deformabilidade do betão à tração e assumindo a mesma relação tensão de aderência-deslizamento rígida-perfeitamente plástica em degrau utilizada pelo TCM. Isto permite obter a distribuição de deformações da armadura (εs) na vizinhança da fenda para qualquer tensão máxima do aço na fenda (σsr) diretamente a partir do equilíbrio. Dado que o espaçamento entre fendas é desconhecido para um padrão de fissuração não completamente desenvolvido, a deformação média (εm) é calculada para qualquer nível de carga ao longo da distância entre pontos com deslizamento nulo quando a barra de armadura atinge a sua resistência à tração (ft) na fenda (lε,avg na Fig. 22b), conduzindo às seguintes relações:
Os modelos propostos permitem o cálculo do comportamento da armadura aderente, que é finalmente considerado na análise. Este comportamento (incluindo o enrijecimento à tração) para o aço de armadura europeu mais comum (B500B, com ft / fy = 1,08 e εu = 5%) é ilustrado nas Fig. 22c-d.