Calcolo dell'ampiezza delle fessure
Esistono due metodi per il calcolo delle ampiezze delle fessure: fessurazione stabilizzata e non stabilizzata. In base al rapporto geometrico di armatura in ciascuna parte della struttura viene determinato quale tipo di modello di calcolo delle fessure verrà utilizzato (TCM per la fessurazione stabilizzata e POM per il modello di fessurazione non stabilizzata).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)
Mentre il CSFM fornisce un risultato diretto per la maggior parte delle verifiche (ad es. capacità dell'elemento, frecce…), i risultati dell'ampiezza delle fessure sono calcolati dai risultati delle deformazioni dell'armatura forniti direttamente dall'analisi FE seguendo la metodologia descritta nella Fig. 20. Si considera una cinematica della fessura senza scorrimento (apertura pura della fessura) (Fig. 20a), coerente con le ipotesi principali del modello. Le direzioni principali di tensioni e deformazioni definiscono l'inclinazione delle fessure (θr = θs= θe). Secondo la (Fig. 20b), l'ampiezza della fessura (w) può essere proiettata nella direzione della barra d'armatura (wb), ottenendo:
\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]
dove θb è l'inclinazione della barra.
Si noti che il programma visualizza i valori di θr e θb < π/2. Ciò significa che l'equazione precedente è valida per i casi in cui l'armatura e la fessura attraversano quadranti diversi del sistema di coordinate cartesiane, come mostrato nella Fig. 20, dove l'armatura attraversa il I e il III quadrante e la fessura il II e il IV. Per i casi in cui l'armatura e la fessura attraversano gli stessi quadranti, l'equazione deve essere modificata come segue:
\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]
La componente wb è calcolata in modo coerente sulla base dei modelli di irrigidimento a trazione integrando le deformazioni dell'armatura. Per le regioni con schemi di fessurazione completamente sviluppati, le deformazioni medie calcolate (em) lungo le barre d'armatura sono integrate direttamente lungo l'interasse delle fessure (sr), come indicato nella (Fig. 20c). Sebbene questo approccio al calcolo delle direzioni delle fessure non corrisponda alla posizione reale delle fessure, fornisce comunque valori rappresentativi che portano a risultati di ampiezza delle fessure confrontabili con i valori di ampiezza delle fessure richiesti dalla normativa nella posizione della barra d'armatura.
Situazioni particolari si osservano agli angoli concavi della struttura calcolata. In questo caso, l'angolo predefinisce la posizione di una singola fessura che si comporta in modo non stabilizzato prima che si sviluppino ulteriori fessure adiacenti. Queste fessure aggiuntive si sviluppano generalmente dopo il campo di esercizio (Mata-Falcón 2015), il che giustifica il calcolo delle ampiezze delle fessure in tale regione come se fossero non stabilizzate (Fig. 21).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]
Irrigidimento a trazione
L'implementazione dell'irrigidimento a trazione distingue tra casi di schemi di fessurazione stabilizzata e non stabilizzata. In entrambi i casi, il calcestruzzo è considerato completamente fessurato prima del carico per impostazione predefinita.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)
Fessurazione stabilizzata
In schemi di fessurazione completamente sviluppati, l'irrigidimento a trazione viene introdotto utilizzando il Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – che ha dimostrato di fornire eccellenti previsioni di risposta nonostante la sua semplicità (Burns 2012). Il TCM assume una relazione tensione di aderenza-scorrimento a gradini, rigida e perfettamente plastica, con τb = τb0 =2 fctm per σs ≤ fy e τb =τb1 = fctm per σs > fy. Trattando ogni barra d'armatura come un elemento di trazione – Fig. 22b e Fig. 22a – la distribuzione dell'aderenza, delle tensioni nell'acciaio e nel calcestruzzo e quindi la distribuzione delle deformazioni tra due fessure può essere determinata per qualsiasi valore dato delle tensioni massime nell'acciaio (o deformazioni) alle fessure.
Per sr = sr0, una nuova fessura può formarsi o meno poiché al centro tra due fessure σc1 = fct. Di conseguenza, l'interasse delle fessure può variare di un fattore due, ovvero sr = λsr0, con l = 0.5…1.0. Assumendo un certo valore per λ, la deformazione media dell'elemento di trazione (εm) può essere espressa come funzione delle tensioni massime nell'armatura (ovvero le tensioni alle fessure, σsr). Per il diagramma tensione-deformazione bilineare idealizzato per le barre d'armatura nude considerato per impostazione predefinita nel CSFM, si ottengono le seguenti espressioni analitiche in forma chiusa (Marti et al. 1998):
\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]
\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]
\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]
dove:
Esh il modulo di incrudimento dell'acciaio Esh = (ft – fy)/(εu – fy /Es) ,
Es modulo di elasticità dell'armatura,
Ø diametro della barra d'armatura,
sr interasse delle fessure,
σsr tensioni nell'armatura alle fessure,
σs tensioni effettive nell'armatura,
fy tensione di snervamento dell'armatura.
L'implementazione di IDEA StatiCa Detail del CSFM considera l'interasse medio delle fessure per impostazione predefinita durante l'analisi del campo di tensioni assistita da computer. L'interasse medio delle fessure è considerato pari a 2/3 dell'interasse massimo delle fessure (λ = 0.67), in conformità con le raccomandazioni formulate sulla base di prove a flessione e trazione (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Si noti che i calcoli delle ampiezze delle fessure considerano un interasse massimo delle fessure (λ = 1.0) al fine di ottenere valori conservativi.
L'applicazione del TCM dipende dal rapporto di armatura, e quindi l'assegnazione di un'appropriata area di calcestruzzo reagente a trazione tra le fessure a ciascuna barra d'armatura è fondamentale. È stata sviluppata una procedura numerica automatica per definire il corrispondente rapporto di armatura efficace (ρeff = As/Ac,eff) per qualsiasi configurazione, inclusa l'armatura inclinata (Fig. 23).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)
Fessurazione non stabilizzata
Le fessure presenti in regioni con rapporti geometrici di armatura inferiori a ρcr, ovvero la quantità minima di armatura per cui l'armatura è in grado di portare il carico di fessurazione senza snervare, sono generate da azioni non meccaniche (ad es. ritiro) o dalla propagazione di fessure controllate da altra armatura. Il valore di questa armatura minima si ottiene come segue:
\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]
dove:
fy tensione di snervamento dell'armatura,
fct resistenza a trazione del calcestruzzo,
n rapporto modulare, n = Es / Ec .
Per calcestruzzo e acciaio d'armatura convenzionali, ρcr ammonta a circa lo 0,6%.
Per le staffe con rapporti di armatura inferiori a ρcr, la fessurazione è considerata non stabilizzata e l'irrigidimento a trazione è implementato mediante il Pull-Out Model (POM) descritto nella Fig. 22b. Questo modello analizza il comportamento di una singola fessura considerando nessuna interazione meccanica tra fessure separate, trascurando la deformabilità del calcestruzzo a trazione e assumendo la stessa relazione tensione di aderenza-scorrimento a gradini, rigida e perfettamente plastica, utilizzata dal TCM. Ciò consente di ottenere la distribuzione delle deformazioni dell'armatura (εs) in prossimità della fessura per qualsiasi tensione massima nell'acciaio alla fessura (σsr) direttamente dall'equilibrio. Dato che l'interasse delle fessure è sconosciuto per uno schema di fessurazione non completamente sviluppato, la deformazione media (εm) è calcolata per qualsiasi livello di carico sulla distanza tra i punti con scorrimento nullo quando la barra d'armatura raggiunge la sua resistenza a trazione (ft) alla fessura (lε,avg nella Fig. 22b), portando alle seguenti relazioni:
I modelli proposti consentono il calcolo del comportamento dell'armatura aderente, che viene infine considerato nell'analisi. Questo comportamento (incluso l'irrigidimento a trazione) per l'acciaio d'armatura europeo più comune (B500B, con ft / fy = 1,08 e εu = 5%) è illustrato nella Fig. 22c-d.