Geometrisch en materieel niet-lineaire analyse met imperfecties (GMNIA) van staven op buiging

1. Doelstelling

Het doel van dit artikel is de verificatie van de GMNIA-module (geometrisch en materieel niet-lineaire analyse met imperfecties) van de IDEA Member applicatie. De resulterende weerstanden uit IDEA Member worden vergeleken met de analytische oplossing volgens EN 1993-1-1 [1] voor staven op buiging.

2. Modelbeschrijving

In totaal werden 18 individuele gevallen geanalyseerd om de GMNIA-module te verifiëren. Ze hebben allemaal dezelfde dwarsdoorsnede IPE 240 en dezelfde staalkwaliteit S 235. Drie verschillende belastingscondities werden onderzocht (A – eindmomenten, B – kracht in het midden, C – continue belasting). Zes waarden van relatieve slankheid werden geverifieerd, variërend van 0,6 tot 1,6.

Fig. 1: Verschillende belastingsgevallen gebruikt voor verificatie

3. Initiële imperfecties

Vier benaderingen werden gebruikt om de initiële imperfectie van een staaf op buiging te berekenen. Deze worden aangeduid als A, B, C en D. De benaderingen A, B en C gebruiken de initiële imperfectie voor knik rond de zwakke as, vermenigvuldigd met een factor k = 0,5; zoals gespecificeerd in EN 1993-1-1 Clausule 5.3.4 (3) [1]. De initiële imperfectie volgens benadering D wordt rechtstreeks bepaald voor kip.

Benadering A – volgens EN 1993-1-1:2005, Tabel 5.1:

Tab. 1: Rekenwaarde van initiële boogimperfectie e₀/L voor staven

Benadering B – volgens prEN 1993-1-1:2020, tweede ontwerp [2], Clausule 5.3.3.1:

$$\frac{e_0}{L}=\frac{α}{ε} \beta$$

waarbij:

• e₀ – initiële imperfectie
• α – imperfectiefactor afhankelijk van de relevante knikkromme volgens 1993-1-1, Tabel 6.1 [1]
• $\varepsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}}$
• f_y – vloeigrens van de kolom [MPa]
• β – referentie relatieve boogimperfectie volgens Tabel 2
• L – staaflengte

Tab. 2: Referentie relatieve boogimperfectie

Benadering C – EUGLI-methode (Equivalent Unique Global and Local Initial Imperfection) volgens EN 1993-1-1:2005, Clausule 5.3.2 (11) [1]:

$$e_0=\alpha (\bar \lambda - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

waarbij

• e₀ – initiële imperfectie
• α – imperfectiefactor afhankelijk van de relevante knikkromme volgens 1993-1-1, Tabel 6.1 [1]
• $\bar \lambda$  – relatieve slankheid van de staaf
• N_Rk – karakteristieke weerstand tegen normaalkracht van een dwarsdoorsnede
• M_Rk – karakteristieke momentweerstand van een dwarsdoorsnede

Benadering D – volgens [3]:

$$e_0=\alpha_{LT} (\bar \lambda_{LT} - 0.2) \frac{M_{Rk}}{N_{Rk}}$$

waarbij

• e₀ – initiële imperfectie
• α_LT – imperfectiefactor uit Tabel 3
• $\bar \lambda_{LT}$ – relatieve slankheid van de staaf
• N_Rk – karakteristieke weerstand tegen normaalkracht van een dwarsdoorsnede
• M_Rk – karakteristieke momentweerstand van een dwarsdoorsnede

Tab. 3: Imperfectiefactoren voor de berekening van e₀

De resulterende waarden van de initiële imperfectie zijn samengevat in de onderstaande tabel. Merk op dat voor deze dwarsdoorsnede en staalkwaliteit, benaderingen A en B dezelfde waarden geven.

Tab. 4: Resulterende waarden van initiële imperfectie

4. Analytische oplossing

De volgende benadering volgens EN 1993-1-1, Clausules 6.3.2.1 en 6.3.2.2 [1] wordt gebruikt om de knikweerstand van de staaf te berekenen:

$$\bar \lambda_{LT} = \sqrt{\frac{W_{pl,y} f_y}{M_{cr}}}$$

$$\phi_{LT} = 0.5 \left [1 + \alpha_{LT} \left (\bar \lambda_{LT} - 0.2 \right ) + \bar \lambda_{LT} ^2 \right]$$

$$\chi_{LT} = \frac{1}{\phi_{LT} + \sqrt{\phi_{LT}^2 - \bar \lambda_{LT} ^2}}$$

$$M_{b,Rd} = \frac{\chi_{LT} W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M1}}$$

5. Resultaten

De uiterste weerstanden (voor initiële imperfecties A = B, C en D) uit IDEA Member worden vergeleken met analytische waarden voor een gewalste dwarsdoorsnede (EN) en voor de representatie ervan zonder de lijf-flens-afrondingen (Ew). Tot slot worden resultaten van de ANSYS-software (A) [4] gepresenteerd, waarbij de initiële imperfecties gebaseerd zijn op benadering C.

Tab. 5: Resulterende waarden van momentweerstand

Grafiek 1: Resulterende waarden van momentweerstand

Grafiek 2: Vergelijking van resulterende momentweerstanden

De resultaten van GMNIA zijn conservatief in vergelijking met de Eurocode-oplossing. Dit wordt deels veroorzaakt door de dwarsdoorsnedemodellering in IDEA Member; deze invloed bedraagt tussen 5–10 %, zoals te zien is aan de blauwe kolomwaarden in de bovenstaande grafiek.

Bij vergelijking van de twee oranje kolommen (Member en ANSYS) blijkt een goede overeenstemming met een numerieke oplossing in ANSYS.

De keuze van de initiële imperfectie speelt een belangrijke rol in de resulterende weerstand. Bij gebruik van de initiële imperfecties A of B zijn de resulterende momentweerstanden 10–30 % lager in vergelijking met Eurocode. Methoden C en D zijn slechts licht conservatief (< 10 %) in vergelijking met de analytische Eurocode-oplossing voor een echte gewalste dwarsdoorsnede. Ze liggen echter zeer dicht bij de verwachte waarde die analytisch berekend is voor een dwarsdoorsnede zonder de lijf-flens-afrondingen.

Fig. 2: Vervormde vorm bij de uiterste weerstand en plastische rek van het B_4-model

6. Literatuur en referenties

[1] EN 1993-1-1: Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, CEN, 2005.

[2] prEN 1993-1-1: Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings, second draft, CEN, 2017.

[3] Snijder, H. H., van der Aa, R. P., Hofmeyer, H., & van Hove, B. W. E. M. (2018). Lateral torsional buckling design imperfections for use in non-linear FEA. Steel Construction: Design and Research, 11(1), 49-56.

[4] Aa, R.P. van der: Numerical assessment of the design imperfections for steel beam lateral torsional buckling, Master thesis, report 2015.96, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, Dept. of the Built Environment, Structural Design, The Netherlands, 2015.