直接刚度法

动机

深入理解有限单元分析（FEA）对于确保输入准确和以正确方式呈现结果至关重要。本文的主要目的是解释每个FEA软件在后台如何组装矩阵，以及转动刚度如何影响结构的整体行为。本文是即将发布的文章的前置内容，届时所有研究成果将通过IDEA StatiCa Connection应用于实际结构。

直接刚度法——刚性节点

让我们来看图1所示结构的简单示例。该结构由一根柱和一根梁组成，截面均为HEA 200，截面特性相同。每个节点有三个自由度，包括两个平动（X和Z方向）和一个转动（Ry）。工作空间为二维。材料为钢材，弹性模量为200,000 MPa。

01) 弹簧模型——整体坐标系、几何形状、轴测图及HEA 200截面

局部刚度矩阵

刚度矩阵描述了梁端位移（和转动）变化与相应力（反力）之间的关系。值得注意的是，二维工作空间中每个节点有三个自由度（两个平动和一个转动），因此局部矩阵的维度为6×6。该矩阵表示单元的轴向刚度、剪切刚度和弯曲刚度。

02) 所有构件的局部刚度矩阵

转换矩阵

在90%的结构中，构件的局部刚度矩阵与整体坐标系不一致。只有沿直线排列的简单梁，其局部坐标系（LCS）与整体坐标系（GCS）相同。在本例中，第三个单元绕节点二旋转了90度。这一转换对后续计算是必要的。

03) 构件1、2的转换矩阵；构件3的转换矩阵

转换至整体坐标系

为了准确计算位移，必须将所有相关构件的坐标系统一。实现这一目标的方法之一是使用转换矩阵，该矩阵简化了转换过程，并使位移计算得以顺利进行。对于构件一和构件二，由于其局部坐标系与整体坐标系相同，转换不会改变其矩阵。然而，可以观察到构件三发生了变化，该构件旋转了约90度，X和Z方向平动的矩阵元素也随之改变。您可能会注意到矩阵中存在一些较小的非零数值，这些数值来源于数值计算过程，但由于其相对于整体刚度而言较小，对结果不会产生显著影响。

04) 构件1、2的整体矩阵；构件3的整体矩阵

整体矩阵——叠加

结构共有四个节点，每个节点有三个自由度，因此最终矩阵的维度为12×12。该过程的关键步骤是将各单元矩阵中对应行列的数值叠加到整体矩阵中。

05) 整体系统的整体刚度矩阵

边界条件与荷载向量

若无边界条件，方程组为欠定方程组（只能得到零解）。本例中，节点一和节点三处设置固定约束。零位移边界条件（包括转动）可通过删除对应的行和列来表示。若无外力施加，则解为零位移的平凡解。在本例中，节点四承受50 kN的竖向力。

06) 缩减矩阵、荷载向量及施加的边界条件

求解

在小变形假设和线弹性材料条件下，可以一步求解未知位移向量。该方法快速高效，是处理位移相关问题的便捷方法。

07) 整体坐标系中的节点位移

FEA验证

鉴于所提供的节点数值是精确的，有限单元分析（FEA）的输出结果必须与直接刚度法（DSA）的结果完全一致。这一要求确保了分析结果与所研究系统的实际行为相符。因此，必须确保FEA与DSA的输出结果在可接受的误差范围内相互吻合。

08) DSA与FEA节点位移的验证与对比

直接刚度法——半刚性节点

理解节点通常是半刚性的，而非完全刚性或铰接，这一点至关重要。忽略节点刚度可能导致模型中结构的行为与实际结构不符。让我们深入探讨刚度在计算中如何被考虑，以及它如何影响结构本身的行为。

转动弹簧与土木结构

钢结构土木工程，如厂房和框架，设计用于承受由梁有效传递的弯曲荷载。当梁承受荷载且结构为超静定时，节点的转动刚度在确保正确的荷载重分布和精确变形方面起着至关重要的作用。因此，保持节点的结构完整性以防止结构潜在损伤非常重要。

09) 转动弹簧——局部矩阵

为确保节点处的变形协调，需要对变形进行耦合处理。该耦合应包含在整体刚度矩阵中以计算变形。当施加转动刚度时，其他自由度必须作为新的行和列加入整体刚度矩阵。此类节点的最终矩阵维度为13×13，而刚性节点矩阵的维度为12×12。

转动刚度的影响

结构的转动刚度对力的分布和变形的产生具有显著影响。这意味着具有转动刚度的结构与具有刚性或铰接节点的结构行为不同。若刚度增加过大，可能导致结构行为进一步改变。在本例中，我们将探讨转动刚度增大的影响。所用模型来自上一章，转动弹簧连接在构件一的端部（j端）。

 10) 不同转动刚度下的变形

图表表明，在某些刚度范围内，半刚性节点的变形以多线性方式变化。对于半刚性节点，低估或高估刚度会导致挠度和内力重分布出现显著差异。 

 11) 刚度——变形曲线 

 12) 节点的刚度分区

结论与后续主题

为确保即将开展的研究取得成功，必须首先深入理解所面临的问题。只有这样，才能充满信心和目标地向前推进。我们的研究致力于探讨与所研究问题相关的一系列重要主题。通过深入的研究与分析，我们希望为这一复杂而富有挑战性的问题提供新的见解，并最终为更好地理解这一重要研究领域作出贡献。

• IDEA StatiCa中转动刚度的计算方法
• 如何在FEA工具中对多个构件使用刚度
• IDEA StatiCa与ABAQUS在板对板节点转动刚度方面的验证对比