3 – Реализация метода конечных элементов

3.1     Введение

В МСПН рассматриваются непрерывные поля напряжений в бетоне (2D элементы), которые дополняются дискретными стержневыми элементами армирования (1D элементы). Таким образом, арматура не "размазывается" по конечным 2D элементам бетона, а моделируется явным образом специальными элементами, связанными с бетоном. В расчётной модели подразумевается плоское напряжённое состояние.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Общий вид расчётной модели балки в IDEA StatiCa Detail.}}}\]

В программе стены и балки как целиком, так и частично (как отдельные области разрыва сплошности, отсечённые части). В случае с балками и стенами целиком опорных связей должно быть столько, чтобы конструкция была статически определимой (внешне) или неопределимой. Передача нагрузок через сечение в месте подрезки осуществляется через так называемые переходные зоны Сен-Венана (подробное описание даётся в разделе 3.3), обеспечивающие реалистичное распределение нагрузок в пределах рассматриваемой модели.

3.2     Опоры и устройства для передачи нагрузок

В составе МСПН имеется большой набор опорных связей (Рис. 9), позволяющих смоделировать различные типы опирания, встречающиеся в процессе строительства, а также компоненты для передачи нагрузок (Рис. 10).

3.2.1   Типы опираний

Условное точечное опирание может быть смоделировано по-разному. Главное в этом случае – избежать концентрации напряжений в одном месте и распределить усилия по большей площади. 

В IDEA StatiCa Detail есть следующие типы опор:

• Точечно-распределённая опора (Рис. 9а) – равномерно передаёт нагрузки на какую-нибудь грань элемента или по заданной длине.    

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Типы опираний в IDEA StatiCa Detail:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) точечно-распределённая; (b) опорная пластина; (c) опирание по линии; (d) встроенная опора; (e) опора-подвес.}}}\]

• Встроенная опора (Рис. 9d), напротив, может быть расположена только внутри объёма бетона. Её основной показатель – эквивалентный радиус. Опорные связи этого типа жёстко присоединяются к узлам сетки конечных элементов арматуры, находящимся в зоне эквивалентного радиуса. Поэтому вокруг таких опор требуется задавать арматурные сетки.
• Опорная пластина – ещё один из вариантов условно-точечного опирания (Рис. 9b). Материал опорной пластины может быть задан пользователем, а сама пластина разбивается на конечные элементы независимо от других объектов. 
• Опора-подвес – может использоваться для моделирования подъёмных устройств, анкеров или петель (Рис. 9e).  

Все эти типы опирания в совокупности позволят максимально точно поставить граничные условия и сделать расчётную схему более реалистичной. 

3.2.2   Устройства для передачи нагрузок

Приложение нагрузок к конструкции может осуществляться несколькими способами с помощью специальных устройств. Ниже приводятся основные типы таких нагрузок.

• Опорная пластина (Рис. 10а) – может использоваться для сосредоточенных нагрузок, распределяя их по бОльшей площади с помощью специальной пластины заданной толщины и ширины. 
• Встроенная нагрузка (Рис. 10b и Рис. 11) – прикладывается к внутренним областям бетона с определённым радиусом влияния и передается через жёсткие вставки на узлы ближайших арматурных стержней.
• Нагрузка-подвес – может использоваться для моделирования подъёмных анкеров или подвесов (Рис. 10с). 
• Частично нагруженные области – используются для моделирования локальных зон бетона с повышенной прочностью на сжатие в соответствии с Еврокодом (для ACI такой возможности пока нет). 

К конструкции также можно приложить линейные нагрузки по граням, по полилинии или поверхностные нагрузки, представляющие, например, собственный вес конструкции. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Различные типы устройств для передачи нагрузок:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) опорная пластина; (b) встроенная нагрузка; (c) нагрузка-подвес; (d) частично нагруженные области.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Встроенные нагрузки: (a) приложение нагрузки; (b) передача нагрузок через арматуру; (c) передача нагрузок через бетон.}}}\]

3.3     Передача нагрузок в местах подрезки балок

На практике зачастую приходится моделировать только отдельную часть конструкции, например, опорный участок балки, отверстие и т.д. Такой подход может привести к нежелательной конфигурации опорных связей и нестабильности расчётной модели. Тем не менее, в IDEA StatiCa Detail допускается даже отсутствие опорных связей. В этом случае модель необходимо дополнять сечениями, моделирующими примыкание рассматриваемого участка конструкции к B-областям, включая внутренние усилия в этих местах, обеспечивающими равновесие схемы. Иногда, к примеру, при моделировании опорных участков балки, эти внутренние усилия могут определяться автоматически самой программой.

Для получения реалистичного напряжённо-деформированного состояния между В-областью и рассматриваемой конструкцией автоматически создаются специальные переходные зоны Сен-Венана. Длина таких переходных участков равна половине высоты сечения конструкции. В ходе расчёта и проверок для этих участков не отображается никаких результатов, так как они используются только для корректной передачи нагрузок и носят вспомогательный характер. Для этих переходных зон также нет никаких критериев остановки расчёта. 

Крайнее сечение зоны Сен-Венана, где как раз происходит подрезка элемента, считается абсолютно жёстким: оно может поворачиваться только как единое целое, оставаясь плоским даже после деформации. Это достигается присоединением всех узлов сетки КЭ этой грани к отдельному узлу, находящемуся в центре инерции сечения, с помощью специальных жёстких элементов (RBE2). Внутренние усилия в этом элементе могут быть приложены к узлу, как показано на Рис. 12.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Передача внутренних усилий в месте подрезки.}}}\]

3.4     Эквивалентные сечения 

В расчётных моделях конструкций с вутами используются эквивалентные, упрощённые сечения. Ширина таких сечений уменьшается по сравнению с исходной. Эквивалентная ширина равняется сумме толщины соседней стенки и удвоенной высоты. В основе такого упрощения лежит предположение о том, что сжимающие напряжения распространяются со стенки на полки под углом 45 градусов (см. Рис. 13), то есть, описанная выше уменьшенная ширина будет максимально возможной для передачи нагрузок.

Стоит отметить, что такой метод определения эквивалентной ширины полки, реализованный в МСПН, отличается от описанного в п. 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015). Помимо геометрии самой схемы на ширину полки согласно Еврокоду влияют также длина пролёта и граничные условия конструкции.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Уменьшение ширины сечения: (a) пользовательские исходные данные; (b) КЭ модель – с автоматически уменьшенной шириной полки.}}}\]

Если сечение изменяется по горизонтали (Рис. 14, каждый такой участок делится 5 расчётными сечениями. Толщина стенки каждого сечения постоянна и берётся по толщине стенки исходного элемента в середине пролёта рассматриваемого элемента.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad Горизонтальный вут: (a) пользовательские исходные данные; (b)  КЭ модель – вут автоматически делится на 5 сечений.}}}\]

3.5     Типы конечных элементов

Нелинейная конечно-элементная модель в IDEA StatiCa Detail содержит различные типы элементов, описывающих работу бетона, арматуры и механизмов сцепления между ними. Бетон и арматура сперва делятся на конечные элементы независимо друг от друга, а уже после соединяются с помощью специальных многоузловых объединений (англ. Multi-point constraint, сокр. MPC). Это позволяет размещать арматуру произвольным образом относительно бетона. Если требуется выполнить проверку длины анкеровки, то между арматурой и многоузловыми объединениями устраиваются специальные элементы сцепления и анкерные вставки. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Конечно-элементная модель: элементы армирования наложены на сетку КЭ бетона с помощью многоузловых объединений и элементов сцепления.}}}\]

3.5.1   Бетон

Сетка бетона разбивается на четырёхугольные (CQUAD4) и треугольные (CTRIA3) элементы оболочек. Подразумевается, что в этих элементах возникают только плоские напряжения, то есть, напряжения и деформации из плоскости не учитываются. 

В каждом элементе имеется три или четыре точки интегрирования, расположенные примерно по четвертям от размера элемента. В каждой точке интегрирования каждого элемента вычисляются направления главных напряжений α₁ и α₃. Для каждого из этих направлений определяются сами величины напряжений  σ_c1 и σ_c3 и жёсткости E₁ и E₂ в соответствии с диаграммой работы бетона, показанной на Рис. 2. Следует отметить, эффект разупрочнения при сжатии может оказывать влияние на направление главных сжимающих напряжений, связанных с другим главным направлением.

3.5.2   Армирование

Арматура моделируется двухузловыми стержневыми 1D элементами (англ. CROD), имеющими только продольную жёсткость. Они соединяются со специальными элементами сцепления, моделирующими взаимодействие между арматурным стержнем и окружающим его бетоном. Эти элементы сцепления затем соединяются многоузловыми объединениями (англ. МРС) с элементами бетона. Такой подход позволяет работать с несогласованными сетками бетона и арматуры, соединяя их косвенно с помощью вспомогательных элементов. 

3.5.3   Проверка длины анкеровки: элементы сцепления

Длина анкеровки проверяется по напряжениям сцепления, возникающими между 2D элементами бетона и 1D элементами арматуры. Для этой цели были разработаны специальные конечные элементы сцепления. 

Математическое описание элемента сцепления похоже на элемент оболочки CQUAD4. В нём также 4 узла интегрирования, но в отличие от классического CQUAD4, жёсткость элемента сцепления на сдвиг между верхними и нижними узлами не нулевая. В расчётной модели верхние узлы крепятся к сетке арматуры, а нижние - к сетке бетона. Поведение такого элемента зависит от напряжений сцепления τ_b , представляющими билинейную зависимость от проскальзывания, δ_u , верхних узлов относительно нижних, как показано на Рис. 16.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad (a) схематическое изображение деформаций элемента сцепления; (b) зависимость напряжений от деформаций.}}}\]

Упругий модуль сдвига, описывающий зависимость сцепления от проскальзывания, G_b , задаётся следующим образом:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

где:

k_g            коэф-т, зависящий от типа поверхности арматуры (по умолч. k_g = 0.2),

E_c            модуль упругости бетона, принимаемый как E_cm

Ø             диаметр арматурного стержня.

Расчётные значения предельных напряжений сдвига, f_bd, описанные в соответствующим образом в нормах EN 1992-1-1 (2015) или ACI 318-04, используются для проверки длины анкеровки. Упрочнение пластической ветви учитывается автоматически, её наклон составляет G_b/10⁵.

3.5.4   Проверка длины анкеровки: элементы-вставки

Требуемая длина анкеровки (l_b,net) может быть уменьшена за счёт различных устройств на конце этого стержня (загибов, петель, крюков), отвечающих требованиям норм проектирования. Технически это реализуется с помощью специального коэффициента β (т. н. коэффициента анкеровки). Расчётное значение длины анкеровки (l_b) затем вычисляется следующим образом:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Доступные в МСПН типы анкеровки включают в себя следующие:

• прямой стержень (без понижающих коэффициентов к длине анкеровки);
• отгиб
• крюк
• петля

Все перечисленные типы анкеровки и коэффициенты β для них показаны на Рис. 17 для продольной арматуры и на Рис. 18 для хомутов. Принятые значения соответствуют EN 1992-1-1. Следует отметить, что несмотря на широкий выбор различных вариантов МСПН различает только три типа с точки зрения величины коэффициента заделки: 

• Без уменьшения длины анкеровки (β = 0,0);
• С уменьшением длины анкеровки на 30% (β = 0,3);
• С полным обеспечением заделки (β = 1,0);

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad  Доступные в МСПН типы анкеровки продольных стержней и соответствующие им коэффициенты заделки:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) прямой стержень; (b) отгиб; (c) крюк; (d) петля; (e) приварка к поперечному стержню; (f) жёсткая заделка; (g) выпуск.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad  Доступные в МСПН типы анкеровки хомутов и соответствующие им коэффициенты заделки.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) крюк; (b) отгиб; (c) перехлёст. Незамкнутые хомуты: (d) крюк; (e) выпуск.}}}\]

Предполагаемое снижение величины заделки l_b,net эквивалентно степени включения конца стержня в работу, выражаемой в процентах от несущей способности с учётом коэффициента заделки β. Подробные пояснения даются на Рис. 19a.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad  Модель, описывающая процедуру уменьшения длины анкеровки:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) усилие анкеровки по длине заделки арматурного стержня; (b) зависимость между сцеплением и проскальзыванием.}}}\]

Снижение длины анкеровки арматуры учитывается в расчётной модели с помощью специальных элементов-вставок на конце стержня (Рис. 15), поведение которых описывается специальными зависимостями, показанными на Рис. 19b. Максимальное усилие (F_au), передаваемой такой вставкой, равно:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

где :

β             коэффициент заделки, зависящий от типа анкеровки,

A_s            площадь сечения арматурного стержня,

f_yd           расчётный предел текучести арматуры.

3.6     Сетка конечных элементов

Сетка конечных элементов, реализация которых описана выше, строится внутри программы автоматически и не требует сложных действий от пользователя. Построение аналитической модели и сетки конечных элементов – важный этап в любых численных расчётах.

3.6.1   Бетон

Все конечные элементы бетона соединяются друг с другом. Оптимальная крупность сетки вычисляется программой автоматически на основе размеров и формы конструкции с учётом максимального диаметра арматуры. Более того, рекомендуемый размер сетки КЭ гарантирует, что даже в тонких (маленьких) элементах расчётной схемы будет создано не менее 4 элементов, чтобы обеспечить надёжность результатов в этих местах. Максимальное число элементов сетки для бетона ограничено 5000. Этого значения вполне достаточно для обеспечения оптимальной крупности сетки КЭ в большинстве случаев. Расчётчик всегда может задать пользовательский размер сетки КЭ через специальный множитель к размеру сетки по умолчанию.

3.6.2   Армирование

Арматура разбивается на конечные элементы примерно таких же размеров, как и бетон. Как только сетки КЭ бетона и арматуры построены, они соединяются с элементами сцепления (в расчётах по 1 ПС) или напрямую с многоузловыми объединениями (в расчётах по 2 ПС), как это показано на Рис. 15. 

3.6.3   Опорные пластины

Опорные пластины представляют собой специальные элементы расчётной схемы. Они разбиваются на конечные элементы независимо от других объектов. Размер сетки для них составляет 2/3 от размера сетки бетона вокруг. Узлы опорной пластины соединяются с узлами бетонных элементов с помощью специальных интерполяционных ограничений (RBE3).

3.6.4   Нагрузки и опорные связи

Встроенные нагрузки и опоры связываются только с арматурой, как показано на Рис. 20. Поэтому вокруг них обязательно должно быть задано армирование. Крепление к узлам элементов арматуры внутри осуществляется в пределах эквивалентного радиуса и обеспечивается специальными RBE3-элементами с соответствующими весами.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad  Встроенная нагрузка, наложенная на сетку конечных элементов арматуры.}}}\]

Опирания по линии и распределённые нагрузки также связаны с узлами сетки КЭ бетона специальными RBE3-элементами, размеры которых зависят от значения эффективного радиуса. Весовые значения соединений обратно пропорциональны расстояниям до места опирания или приложения нагрузки.

3.7     Решатель и алгоритм контроля нагрузки

Для решения нелинейных уравнений в постановке МКЭ используется стандартный алгоритм Ньютона-Рафсона (АНР). 

В общем случае АНР может не сходиться к решению, если сразу же на первом шаге к модели приложить всю нагрузку. В IDEA StatiCa Detail используется стандартный подход: нагрузка делится на части и прикладывается итерационно, с приращениями. Каждая последующая итерация стартует с решения, полученного на предыдущем шаге, и решение ищется снова. Поэтому АНР здесь дополняется специальной процедурой контроля нагрузки. Если заданная итерация не сходится к решению, то прикладываемая нагрузка уменьшается вдвое, и процедура повторяется заново для половины нагрузки. 

Второе назначение алгоритма контроля – поиск критической нагрузки, соответствующей предельному состоянию: появлению максимальной предельной деформации в бетоне, максимальному проскальзыванию в элементах сцепления, максимальным перемещениям элементов анкеровки и максимальным деформациям в арматуре. Критическая нагрузка находится методом половинного деления. Если где-либо в модели достигается предельный критерий, результаты данной итерации удаляются, а нагрузка уменьшается вдвое. Этот процесс повторяется до тех пор, пока разница между результатами для двух последовательных итераций не станет меньше допускаемого значения.

Для бетона по умолчанию стоп-критерий связан с достижением пластическими деформациями сжатия 5% (почти на порядок выше экспериментальных значений) и 7% при растяжении. Эти значения отслеживаются в каждой точке интегрирования каждого конечного элемента-оболочки. Указанное предельное значение при растяжении допускает появление предельных деформаций в арматуре, которые составляют примерно 5% без учёта упрочнения при растяжении и проявляются в первую очередь. Значение для сжатия выбиралось из нескольких доступных вариантов таким образом, чтобы оно было достаточно большим для проявления эффектов разрушения, и при этом достаточно малым для отрицательного влияния на сходимость расчёта.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Численные зависимости для элементов сцепления и анкеровки, используемые в проверках длины заделки:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) зависимость "сцепление-проскальзывание" для элементов сцепления; (b) зависимость "усилие-перемещение" для элементов анкеровки.}}}\]

Для арматуры стоп-критерий связывается с напряжениями. Так как в пределах трещин вычисляются напряжения, критерий для растяжения соответствует пределу прочности арматуры, в котором уже учтён коэффициент надёжности. Аналогичная процедура используется для сжатия.

Стоп-критерий для элементов сцепления и анкеровки выражается с помощью α·δu_max, где δu_max максимальное проскальзывание по нормам, а коэффициент α = 10.

3.8     Представление результатов

Результаты для бетона и арматуры отображаются отдельно друг от друга. Напряжения и деформации в бетоне вычисляются в точках интегрирования элементов-оболочек. Однако, визуально результаты отображаются именно в узлах, для удобства, как это делается и в других программах. Например, максимальные сжимающие напряжения в узле вычисляются по значениям в ближайших точках интегрирования по Гауссу (Рис. 22). Следует отметить, что в некоторых случаях такой способ вывода результатов может приводить завышенным значениям для сжатых областей в тех случаях, когда размер конечного элемента сопоставим с высотой сжатой зоны. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad  Сетка конечных элементов бетона с точками интегрирования и узлами: отображение результатов в узлах сетки и}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{конечных элементах.}}}\]

Результаты для конечных элементов арматуры либо постоянны для каждого элемента (например, напряжения), либо меняются в пределах элемента по линейному закону (например, два значения для элементов сцепления). Для вспомогательных элементов, таких как опорные пластины, отображаются только деформации.