En pratique, l'analogie des fermes (S&T) et des méthodes des champs de contrainte sont couramment utilisées pour concevoir les régions de discontinuité dans les structures en béton armé et précontraint. La méthode des champs de contrainte compatibles (CSFM) a été développée en étendant ces théories classiques, ce qui permet un haut degré d'automatisation et est cohérent avec la norme de conception. Malgré sa simplicité, la méthode fournit une description très réaliste de la réaction d'une structure en béton à la fois dans l'état limite ultime (ELU) et état limite de service (ELS). La CSFM est mise en œuvre dans IDEA StatiCa Detail.
Image 1 a) Voile avec ouvertures b) Voile de cisaillement c) Poutre avec extrémités réduites et ouvertures d) Pile de pont e) Diaphragme de pont
Les procédures standard de conception des sections transversales des structures en béton peuvent être utilisées dans les zones où l'hypothèse de Navier-Bernoulli de distribution des déformations au plan s'applique (région B). Les endroits où cette hypothèse ne s'applique pas sont appelés régions de discontinuité (régions D). Il s'agit des parties des structures où apparaissent des charges concentrées ou où il y a un changement soudain de la section transversale tel qu'extrémités réduites (Image 1c), poutres voiles, voiles avec des ouvertures (Image 1a, 1b), consoles ou têtes de pieux. Dans le domaine de l'ingénierie des ponts, il s'agit par exemple des têtes de piliers (Image 1d), diaphragmes (Image 1e), déviateurs, etc.
1. Analogie des fermes
L'hypothèse de base lors de la définition d'un modèle d'analogie des fermes est que la résistance à la traction du béton est négligée. Une simple analogie des fermes consiste en des éléments agissant en compression et en traction, représentant le comportement ELU. En général, il ne s'agit pas d'un problème complexe et la définition d'une analogie des fermes de base (Image 2a) ne devrait pas poser de problème à un ingénieur expérimenté. Cependant, même pour cette tâche élémentaire, l'évaluation correcte du modèle conformément à la norme de conception peut être un processus fastidieux, manuel et itératif.
Image 2 a) Analogie des fermes, option 1 b) Analogie des fermes, option 2 c) Analogie des fermes, option 3
Il faut évaluer les tiges, zones nodales et déformations transversales en traction dans les entretoises. Si le modèle ne satisfait pas la vérification, il faut ajuster la géométrie de l'analogie ou en créer une autre (Image 2b, 2c). Cela conduit souvent les ingénieurs en structure à ne choisir la géométrie de l'analogie des fermes qu'une seule fois et à n'évaluer que le ferraillage, ce qui peut causer une erreur substantielle. Cela peut conduire à une erreur substantielle. Le choix du modèle est toujours une question d'expérience. Pour des détails structurels plus complexes, le choix d'une analogie des fermes qui correspondra suffisamment au comportement réel de la structure peut ne pas être aussi facile que dans le cas ci-dessus. Par ailleurs, l'analogie des fermes ne permet de concevoir que des états limites ultimes. Elle ne permet pas la conception des états limites de service (déformation, fissuration) qui sont des critères critiques, en particulier dans les structures d'importance significative, car ils ont un impact direct sur la durée de vie de la structure.
2. Méthode des champs de contrainte compatibles – CSFM
La CSFM est une méthode non linéaire moderne pour l'analyse des régions D et des éléments dont le comportement peut être simplifié à une contrainte au plan, c'est-à-dire un modèle 2D. Cependant, elle repose toujours sur une hypothèse fondamentale et sûre des normes : le béton n'agit pas en traction et toute traction doit être transférée par le ferraillage. La méthode des champs de contrainte compatibles (CSFM) est une évolution des méthodes d'analogie des fermes et des champs de contrainte, supprimant leurs principaux inconvénients mentionnés ci-dessus : incertitudes dans la sélection du modèle, difficulté d'automatisation et incapacité à évaluer les états limites de service.
Image 3 a) Déformation simple b) Contrainte principale c) CSFM
Le principe de la CSFM peut être expliqué sur la contrainte simple de l'élément de base au plan d'une structure en béton armé. La figure 3a montre l'élément 2D de base en contrainte simple tel que nous le connaissons de tous les manuels sur l'élasticité et la résistance. Il s'agit de la contrainte en un point de la structure, obtenue par exemple par une analyse d'élasticité linéaire à l'aide de la méthode des éléments finis (MEF). L'élément est soumis à une contrainte normale horizontale σx, une contrainte normale verticale σz et une contrainte de cisaillement τxz. À partir de ces contraintes, on peut déterminer les contraintes principales et leur direction définie par l'angle θ (Image 3b). L'élément est alors soumis à la contrainte de traction principale σ1 et à la contrainte de compression principale σ2.
Comment sera la déformation du même élément analysé par CSFM ? La déformation est illustrée à l'image 3c. Le béton en compression apparaît dans la direction de la contrainte de compression principale σ2. Un champ de contrainte avec une contrainte σc2 est généré. Comme mentionné ci-dessus, l'hypothèse de base est que le béton n'agit pas en traction. Par conséquent, la contrainte de traction principale transversale σ1 ne sera pas transférée par le béton et une fissure apparaîtra perpendiculairement à cette direction. La contrainte σc1r doit donc être zéro. Pour éviter la rupture de notre élément 2D, toutes les contraintes de traction doivent être transférées par le ferraillage (en bleu sur l'image 3c), qui doit faire partie du modèle de calcul.
Si cette analyse de contrainte est effectuée à l'aide de CSFM de manière continue sur l'ensemble de la région 2D à résoudre, le résultat est un champ de compression continu dans le béton ainsi que les contraintes de traction et de compression dans le ferraillage. L'image 4 est une représentation graphique simplifiée du champ de contrainte CSFM. Outre les taux d'utilisation de béton et ferraillage, l'image indique également les directions variables des contraintes calculées σc2 le long des régions.
Image 4 Résultats globaux de IDEA StatiCa Detail
L'analyse d'un détail ou d'une structure à l'aide de CSFM est basée sur la méthode des éléments finis. Le béton est modélisé avec des éléments de voile 2D et le ferraillage avec des éléments 1D (Image 7). L'analyse n'est pas effectuée en une seule étape puisqu'il s'agit d'un problème non linéaire. Les charges sont appliquées par incréments au cours du calcul et la solution du système d'équations non linéaires est trouvée à l'aide de la méthode de Newton-Raphson.
Les fissures fictives (ε1 étant la valeur moyenne) sont « formées » perpendiculairement à la direction des contraintes principales qui peut changer au cours du calcul non linéaire car l'élément « est fissuré progressivement » à chaque incrément de charge. En résumé, on considère une fissure rotative fictive sans contrainte.
Le résultat de la solution MEF utilisant CSFM est un champ de contrainte compatible (c'est-à-dire que le béton ne se décompose pas en éléments individuels agissant indépendamment dans le modèle) et l'état de déformation qui sont continus dans l'ensemble du domaine 2D en cours de résolution. Il s'agit d'un avantage majeur par rapport aux approches classiques d'analogie des fermes qui permet d'automatiser et affiner le modèle de calcul comme décrit dans les paragraphes suivants.
Image 5 Principe du ramollissement du béton
La formulation simple de CSFM permet d'utiliser le diagramme standard de contrainte-déformation uniaxial parabolique-rectangulaire pour le béton en compression conformément à la norme. Comme on le sait, la résistance à la compression du béton diminue lorsque le béton est endommagé par des fissures transversales (Image 5). Cet effet dit ramollissement par compression est inclus dans la méthode en prenant automatiquement en compte la résistance effective à la compression du béton.
Le coefficient de réduction kc est déterminé en fonction du niveau des déformations transversales par traction ε1 et le diagramme de contrainte-déformation du béton est ajusté (Image 5). Puisqu'on connait le champ des déformations dans l'ensemble de la structure, la résistance effective à la compression du béton peut être calculée automatiquement dans les sections individuelles selon le niveau local des déformations transversales par traction ε1.
Image 6 Principe de raidissement par traction
En outre, CSFM prend en compte l'effet de raidissement du béton en traction entre les fissures sur le ferraillage, appelé raidissement par traction. Dans le modèle de calcul, le degré de ferraillage moyen εm est utilisé. Le diagramme de contrainte-déformation du ferraillage est alors modifié (Image 6). Cela permet une représentation réaliste de la rigidité de la structure en béton armé endommagée par des fissures. Cependant, il est toujours vrai que la résistance à la traction du béton ne contribue pas à la capacité ultime. La contrainte maximale dans le ferraillage σsr dans les fissures est essentielle pour la conception (Image 6).
CSFM utilise des modèles de matériaux uniaxiaux communs (diagrammes de contrainte-déformation) définis dans les normes de conception. L'approche standard, la méthode des coefficients partiels de sécurité, est ensuite utilisée pour évaluer l'ELU. La simplicité de la méthode la rend adaptée à la pratique de l'ingénierie et est cohérente avec les normes de conception.
Même s'il s'agit d'une analyse MEF non linéaire, l'ingénieur en structure n'a pas besoin de saisir des attributs supplémentaires des matériaux et des caractéristiques du béton au calcul qui peuvent même ne pas être disponibles lors de la conception et qui sont nécessaires, par exemple, pour les analyses MEF non linéaires basées sur la mécanique de la rupture. Comme indiqué précédemment, l'un des principaux avantages de l'analyse CSFM, outre les états limites ultimes, est la capacité d'évaluer les états limites de service : flèche, limites de contrainte et, en particulier, ouverture des fissures.
Image 7 Exemple de représentation d'un modèle d'éléments finis dans IDEA StatiCa Detail
(Image 7) Le modèle MEF dans CSFM est composé de plusieurs types d'éléments finis :
- Élément 1D avec rigidité axiale pour le ferraillage
- Élément 2D isoparamétrique pour le béton
- Ressorts pour le modèle d'ancrage du ferraillage avec extrémité traitée
- Élément 2D spécial pour modéliser la cohésion entre le ferraillage et le béton
Si le ferraillage conçu empêche la rupture fragile de l'élément, il a été démontré que la méthode CSFM donne de très bonnes prédictions de la réponse et de la capacité ultime de la structure malgré la simplicité de la formulation. Autrement dit, la méthode n'est pas adaptée, par exemple, à la conception de poutres sans ferraillage de cisaillement transversal qui présentent un potentiel de comportement fragile. Les vérifications de la méthode, y compris des expériences, sont données dans [1]. Une description plus détaillée de la méthode dépasse le cadre du présent document et peut également être trouvée dans la Base théorique.
Il est clair que les principes de la méthode CSFM sont généraux et son application n'est donc pas limitée aux régions de discontinuité, mais peut être utilisée pour modéliser des éléments entiers, par exemple des poutrelles préfabriquées, et lorsque l'élément peut être simplifié en un modèle 2D au plan. La méthode et sa mise en œuvre dans le logiciel (IDEA StatiCa Detail) ont également été développées avec la possibilité de saisir le ferraillage précontraint et post-contraint.
3. Exemple de conception d'une tête de pilier
L'application pratique de CSFM est illustrée par la conception de tête de pilier de pont à l'image 8. Il s'agit du deuxième pilier d'un pont continu avec trois travées de 30,0 m, 42,0 m et 30,0 m. La tête du pilier en béton armé est conçue en béton C40/50 et son épaisseur (dans la direction longitudinale du pont) est 2,0 m.
Image 8 Tête de pilier : a) Conception sommaire ; b) Contrainte de compression dans le béton en ELU ; c) Contrainte de traction dans le ferraillage en ELU ; d) Ouverture des fissures en ELS
Au sommet de la tête de pilier, une poutre transversale avec le ferraillage B500 20xϕ28+20xϕ25 – les quatre couches supérieures – a été conçue tout d'abord. L'image 8a montre une conception sommaire à l'état limite ultime, indiquant les contraintes de compression dans le béton, les directions des contraintes de compression et les contraintes dans le ferraillage. La distribution plus détaillée des contraintes dans le béton et ferraillage est ensuite documentée dans les images 8b et 8c. Le ferraillage transversal se trouve juste en dessous de la limite d'élasticité et les contraintes dans le béton (et les déformations relatives) sont satisfaisantes à l'ELU. Cependant, le résultat du calcul de l'ouverture des fissures (image 8d) montre que la conception ne satisfait pas à l'ELS : wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Pour respecter l'ouverture des fissures limite, il est nécessaire d'augmenter le ferraillage de la poutre transversale à 20xϕ32+20xϕ28. Dans le cas de wlim = 0,2 mm (par exemple pour un pilier près d'une route générant une projection des sels, niveau d'influence environnementale XF2), le ferraillage de la poutre transversale devrait être augmentée encore plus à 24xϕ32+24xϕ28.
Conclusion
CSFM convient à la pratique de l'ingénierie parce que la méthode utilise des modèles de matériaux simples définis dans la norme de conception. En plus des états limites ultimes, elle permet également de concevoir les états limites de service dont l'évaluation était auparavant difficile à imaginer en utilisant l'analogie des fermes. En introduisant la méthode dans IDEA StatiCa Detail, il est alors possible de capturer de manière réaliste la réponse de la structure et de concevoir et évaluer les régions de discontinuité et les assemblages plus importants de manière efficace et sûre.
La CSFM a été développée principalement grâce au travail du professeur Walter Kaufmann, directeur de l'ingénierie structurelle de l'École polytechnique fédérale de Zurich (EPFZ). Lui et son équipe ont également vérifié la méthode et sa mise en œuvre logicielle.
Littérature
[1] KAUFMANN, Walter, et al : Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P. : Structural Concrete : Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12) : 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L. : Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In : Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Auteur de l'article
Ing. Pavel Kaláb, PhD.
IDEA StatiCa s.r.o.