Flexión

Métodos para la verificación de la capacidad seccional

Se pueden utilizar dos métodos bien conocidos para verificar el estado límite último en elementos de hormigón 1D. El primero nos proporciona la resistencia última de la sección transversal en forma de superficie de interacción o de diagrama de interacción (en el caso de momento flector en una dirección). La capacidad de la sección transversal puede determinarse como la relación entre los esfuerzos internos actuantes y los esfuerzos en estado límite. El segundo consiste en encontrar el equilibrio en una sección transversal, donde se busca el comportamiento real de la sección cargada, el aprovechamiento de los materiales en términos de tensiones y la identificación de las vulnerabilidades de la sección.

Hipótesis generales de cálculo para el Estado Límite Último 

1. La deformación ε en la armadura y el hormigón se supondrá directamente proporcional a la distancia al eje neutro (las secciones planas permanecen planas).
2. La interacción entre la armadura y el hormigón queda garantizada sin deslizamiento (la deformación ε de la armadura coincide con la deformación de las fibras adyacentes de hormigón).
3. Se desprecia la resistencia a tracción del hormigón (todas las tensiones de tracción son transmitidas por la armadura).
4. Las tensiones de compresión del hormigón en la zona comprimida se calculan en función de la deformación obtenida a partir de los diagramas tensión-deformación.
5. Las tensiones en la armadura se calculan en función de la deformación obtenida a partir de los diagramas tensión-deformación.
6. La deformación de compresión del hormigón con el límite de deformación última ε_cu2 (diagrama parábola-rectángulo para hormigón a compresión) y ε_cu3 (relación tensión-deformación bilineal), [2].
7. La deformación de compresión de la armadura no tiene limitación en el caso de la rama plástica horizontal superior; en el caso de la rama plástica inclinada superior, la deformación está limitada a ε_ud,[2].
8. Se considera el estado límite cuando el estado de al menos uno de los materiales supera la deformación última (si εu no está limitada, el hormigón comprimido es el condicionante).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Diagrama de interacción

La primera opción es verificar la sección transversal mediante una superficie de interacción (o diagrama de interacción). Se proporciona una explicación a partir de un ejemplo de las superficies de interacción para la sección cuadrada armada del ejemplo mostrado en la figura siguiente. Sobre la superficie de interacción se sitúan los puntos que definen el estado límite último de la sección transversal analizada. La superficie de interacción se traza a partir de los puntos (N, My, Mz), que se determinan mediante la integración de tensiones en la sección transversal, la cual ha alcanzado la deformación última en uno de los materiales. Para una interacción 3D, la superficie puede obtenerse a partir de un diagrama de interacción 2D, que es una curva cerrada correspondiente al estado tensional de un eje neutro en rotación continua.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Para el caso de una sección transversal simétrica respecto al eje y, el diagrama de interacción es simétrico respecto al plano N-M_y. De igual forma, para el caso de una sección transversal simétrica respecto al eje z, el diagrama de interacción es simétrico respecto al plano N-M_z. La sección con armadura unilateral introduce una forma aplanada del diagrama de interacción.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Los puntos que definen el estado límite último se obtienen mediante la integración de tensiones.  La figura siguiente muestra las deformaciones en el estado límite último.

Distribuciones de deformación en el estado límite último (tomado de [2]).

El diagrama de interacción muestra el agotamiento de la sección transversal bajo fuerza normal y momentos flectores. [1]

Considerando el problema del diagrama 2D (curva cerrada situada sobre la superficie de interacción), se puede determinar que el plano de deformaciones pasa por el eje neutro y el punto crítico [y, z, ε], considerado como punto crítico R.  El punto [y, z] define un punto en la sección transversal con el valor de deformación ε en el estado límite último. La inclinación del eje neutro es constante para todos los puntos del diagrama 2D.

En el caso de que la tensión de compresión en el hormigón sea condicionante para el cálculo, el punto R coincide con la fibra de hormigón comprimida más alejada o con el punto límite C. Sin embargo, esto solo es aplicable si la sección está compuesta por un único tipo de hormigón — no así en el caso de una sección transversal mixta.   

En el caso de que la tensión de tracción en la armadura sea condicionante para el cálculo (la deformación ε_ud se supera en el estado límite último en una o más barras), debe cumplirse la condición de que para el plano de deformaciones dado el valor ε_ud no se supere en ninguna otra barra.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

La figura anterior muestra que el diagrama puede dividirse en dos partes: la parte donde el agotamiento es causado por la fuerza de tracción y la parte que falla por una fuerza de compresión. Los puntos límite corresponden al caso anterior, donde también puede observarse la inclinación extrema del plano de deformaciones. Al trazar un diagrama de interacción, la inclinación del plano de deformaciones de la sección transversal varía en este intervalo, mientras se busca el punto R (véase más arriba). A partir de ese plano definido se realiza la integración para obtener la tensión en el estado límite último.

Verificación de la sección transversal sometida a fuerza axial y momento flector

La verificación de una sección transversal sometida a fuerza axial y momento flector consiste en comprobar que las solicitaciones verificadas (combinación N_d, M_yd, M_zd) se encuentran dentro o sobre la superficie de interacción. Esto puede realizarse mediante diferentes métodos. El siguiente ejemplo ilustra la verificación de una sección transversal rectangular sometida a los esfuerzos N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Método NuMuMu

Para definir la resistencia de una sección transversal se asumen variaciones proporcionales en todas las componentes de los esfuerzos internos (la excentricidad de la fuerza normal permanece constante) hasta alcanzar la superficie de interacción. La variación de los esfuerzos internos involucrados puede interpretarse como un desplazamiento a lo largo de la recta que une el origen del sistema de coordenadas (0,0,0) y el punto definido por los esfuerzos internos (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Las dos intersecciones de esta recta con la superficie de interacción representan dos conjuntos de esfuerzos en el estado límite último. En cada intersección, el programa determina tres esfuerzos en el estado límite: la resistencia de cálculo a esfuerzo axial N_Rd y los correspondientes momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz.

Método  NuMM

Para definir la resistencia de la sección transversal se asume una fuerza normal constante (igual a la fuerza normal de cálculo actuante) y variaciones proporcionales en los momentos flectores hasta alcanzar la superficie de interacción. La variación de los esfuerzos internos involucrados puede interpretarse como un desplazamiento en un plano horizontal a lo largo de la recta que une el punto (N_Ed,0,0) y el  punto definido por los esfuerzos internos actuantes (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Las dos intersecciones de esta recta con la superficie de interacción representan dos conjuntos de esfuerzos en el estado límite último. En cada intersección, el programa determina tres esfuerzos en el estado límite: los momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz y la fuerza normal de cálculo actuante (correspondiente) N_Ed.

Método  NMuMu

Para definir la resistencia de la sección transversal se asume una fuerza normal constante (igual a la fuerza normal de cálculo actuante) y variaciones proporcionales en los momentos flectores hasta alcanzar la superficie de interacción. La variación de los esfuerzos internos involucrados puede interpretarse como un desplazamiento en un plano horizontal a lo largo de la recta que une el punto (N_Ed,0,0) y el punto definido por los esfuerzos internos actuantes (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Las dos intersecciones de esta recta con la superficie de interacción representan dos conjuntos de esfuerzos en el estado límite último. En cada intersección, el programa determina tres esfuerzos en el estado límite: los momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz, y la fuerza normal de cálculo actuante (correspondiente) N_Ed.

Determinación de la respuesta de la sección

Otra posibilidad para verificar la sección transversal consiste en determinar la respuesta de la sección transversal (es decir, la distribución de deformaciones y tensiones debida a los esfuerzos internos actuantes). Este método también se conoce como el método de la deformación límite. El nivel de tensiones actuantes en cada fibra (en el caso de flexión plana, en cada capa) y en cada barra de armadura se calcula en función de la deformación obtenida del diagrama tensión-deformación del material.
La determinación de la respuesta de la sección transversal se calcula mediante el método numérico especificado en [6]. El principio consiste en el incremento gradual de la carga sobre la sección mediante las componentes desequilibradas de los esfuerzos no transferidos. Estos se obtienen integrando las tensiones sobre la sección mediante los diagramas tensión-deformación. Si el valor de tensión puede encontrarse para la deformación en el diagrama tensión-deformación, véase la figura siguiente (a), la tensión calculada es correcta asumiendo un material elástico lineal. En los casos (b) y (c), la tensión para un cálculo lineal alcanza valores irreales, y una parte (b) o el valor total (c) no puede ser transmitido por el material. Integrando las tensiones no transferidas se obtienen los esfuerzos internos no transferidos, cuyas resultantes deben añadirse a los esfuerzos internos de las cargas variables. 

Tensiones no transferidas en los diagramas tensión-deformación. [4]

Esfuerzos internos no transferidos. [4]

Este método de cálculo requiere el uso de métodos numéricos para integrar las tensiones sobre el área de la sección transversal y para el análisis no lineal de las ecuaciones de equilibrio en la sección. La iteración se termina cuando se cumplen los criterios de convergencia.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

donde 

F_e es la carga sobre la sección,

F_i es la respuesta de la sección (esfuerzos internos calculados a partir del plano de deformaciones).

Si a es el valor aproximado y b es el valor exacto (real), la desviación absoluta viene dada por la siguiente ecuación.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

La desviación relativa viene dada por la siguiente fórmula:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

En la mayoría de los programas se pueden establecer estos criterios de convergencia (los valores por defecto son 1% como error relativo y 100 N, 100 Nm como error absoluto de la fuerza normal y los momentos). 

Así, si tenemos como datos de entrada N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm y los esfuerzos integrados tras la iteración son N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, la evaluación será la siguiente. Teniendo en cuenta que N y Mz son iguales a 0, puede realizarse una comparación con la desviación absoluta:

El valor de la fuerza normal 100N> | 70 | N
El valor del momento flector Mz 100Nm> | 20 | Nm
El valor del momento flector My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Verificación de la sección transversal mediante la respuesta

En el caso de encontrar el equilibrio en la sección transversal, el plano de deformaciones es conocido. A partir del plano de deformaciones se puede calcular la deformación en cualquier punto de la sección, y posteriormente las tensiones o esfuerzos internos en las barras de armadura, en la sección transversal o en sus partes, mediante los diagramas tensión-deformación de los materiales. Los valores de tensión y deformación calculados se comparan con el valor límite de deformación obtenido de los diagramas tensión-deformación de los materiales empleados.
La ventaja de este método es que se obtiene una imagen completa de los valores de tensión y deformación en la sección bajo los esfuerzos internos que actúan sobre la sección transversal.